《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

12. 如图，$\triangle AOB$是直角三角形，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$OB = 2OA$，点$A$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上。若点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，则$k$的值为______。

答案： −4

13. 如图，将三角形纸片$ABC$按如图所示的方式折叠，使点$B$落在边$AC$上，记为点$B'$，折痕为$EF$，已知$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$。若以$B'$，$F$，$C$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似，则$CF$的长是____________。

答案： $\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$

14.(8分)如图，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，相似比是$\frac{2}{5}$，$DE = 4\ cm$，$\angle C = 30^{\circ}$，求$BC$，$\angle AED$。

答案： 解:
∵△ADE∽△ABC,
∴∠AED=∠C=30°,$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$.
∵DE = 4cm,
∴BC = 10cm.

15.(12分)(1)判断图1、图2中的两个三角形是否相似。
(2)求图2中$x$和$y$的值。

答案： 解:
(1)图1:设小正方形的边长为1,则AB = 2,BC = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$,AC = $\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$,EF = 2,DE = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$,DF = $\sqrt{1^{2}+3^{2}} = \sqrt{10}$,
∴$\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\sqrt{2}$.
∴△ABC∽△DEF.图2:
∵$\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}=\frac{26}{39}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$,∠ACB = ∠ECD,
∴△ABC∽△EDC.
(2)
∵△ABC∽△EDC,
∴∠B = ∠D = 98°,即y = 98.
∵$\frac{DE}{BA}=\frac{CD}{CB}$,即$\frac{27}{x}=\frac{26}{39}$,解得x = 40.5.

16.(13分)如图，在$\triangle ABC$中，$CD$是边$AB$上的高，且$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$。
(1)求证：$\triangle ACD\sim\triangle CBD$。
(2)求$\angle ACB$的度数。

答案： 解:
(1)证明:
∵CD是边AB上的高,
∴∠ADC = ∠CDB = 90°.
∵$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$,
∴△ACD∽△CBD.
(2)
∵△ACD∽△CBD,
∴∠A = ∠BCD.在△ACD中,∠ADC = 90°,
∴∠A +∠ACD = 90°,
∴∠BCD+∠ACD = 90°,即∠ACB = 90°.

17.(15分)如图，在$\triangle ABC$中，以$AB$为直径作$\odot O$，交边$AC$于点$E$，交边$BC$于点$D$，连接$DE$，$AD$，$BE$相交于点$F$。
(1)求证：$\triangle CDE\sim\triangle CAB$。
(2)若$EF = 2$，$AF = BF = 6$，求$CE$的长。

答案： 解:
(1)证明:
∵∠ABC+∠AED = 180°,∠AED+∠DEC = 180°,
∴∠ABC = ∠DEC.又
∵∠C = ∠C,
∴△CDE∽△CAB.
(2)
∵∠BAD = ∠BED,∠ABE = ∠ADE,
∴△DEF∽△BAF.
∴$\frac{DE}{BA}=\frac{EF}{AF}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
∵△CDE∽△CAB,
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB}=\frac{1}{3}$.设CE = x,则CB = 3x,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB = 90°,
∴∠BEC = 90°.
∵EF = 2,BF = 6,
∴BE = 8.在Rt△BEC中,BE²+CE² = BC²,即8²+x² =(3x)²,解得x₁ = 2$\sqrt{2}$,x₂ = −2$\sqrt{2}$(舍去).
∴CE = 2$\sqrt{2}$