《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

1. 如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，一座水塔（图中点A处）在小雅家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）

A. 250米
B. 250$\sqrt{3}$米
C. $\frac{500}{3}$$\sqrt{3}$米
D. 500$\sqrt{2}$米

答案： A

2. 如图，一艘轮船在M处观测到灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测到灯塔P位于南偏西60°方向. 若该轮船继续向南航行至离灯塔P最近的位置T处，则此时轮船与灯塔之间的距离PT为_________海里.（结果保留根号）

答案： $15\sqrt{3}$

3.（教材P76例5变式）（2024·甘孜州）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的点A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的点B处. 这时，点B处距离点A处有多远？（参考数据：sin37°≈0. 60，cos37°≈0. 80，tan37°≈0. 75）

答案： 解：过点$P$作$PC⊥AB$于点$C$，由题意，得$\angle A = 37^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$. 在$Rt\triangle APC$中，$\because\angle A = 37^{\circ}$，$AP = 100$海里，$\therefore PC = AP\cdot\sin A = 100\times\sin37^{\circ}\approx100\times0.60 = 60$（海里），$AC = AP\cdot\cos37^{\circ}=100\times0.80 = 80$（海里）. 在$Rt\triangle PBC$中，$\because\angle B = 45^{\circ}$，$\therefore BC = PC = 60$海里. $\therefore AB = AC + BC = 80 + 60 = 140$（海里）. 答：点$B$处距离点$A$处有$140$海里远.

4.（2024·开封兰考县一模）如图所示，在坡角为α的山坡上栽树，每相邻两棵树之间的水平距离为4米，那么这两棵树在坡面上的距离AB为（ ）

A. $\frac{4}{\cos\alpha}$米
B. $\frac{4}{\sin\alpha}$米
C. 4cosα米
D. 4sinα米

答案： A

5.（教材P77练习T2变式）如图，在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC//AB，BC的长为6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD的长为________米.（结果保留根号）

答案： $6\sqrt{2}$

6.（2024·商丘柘城县模拟）如图，某村准备改造村口的一处斜坡，斜坡长AC＝30米，坡度i＝1∶2，AB⊥CD，为行走方便，准备把坡度改为13°，若A，B，C，D均在一个平面内，求改造后CD的长.（参考数据：sin13°≈0. 225，cos13°≈0. 974，tan13°≈0. 231，$\sqrt{5}$≈2. 236，结果精确到0. 1米）

答案： 解：由题意，得$\angle ABC = 90^{\circ}$，$i=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$. 设$AB = x$米，则$BC = 2x$米，$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5}x$米. $\therefore\sqrt{5}x = 30$，解得$x = 6\sqrt{5}\approx13.416$. $\therefore AB = 13.416$米，$BC = 26.832$米. 在$Rt\triangle ABD$中，$\tan\angle ADC=\frac{AB}{BD}$，$\angle ADC = 13^{\circ}$，$\therefore DB=\frac{AB}{\tan13^{\circ}}\approx58.078$（米）. $\therefore DC = DB - BC = 58.078 - 26.832 = 31.246\approx31.2$（米）. 答：改造后$CD$的长约为$31.2$米.