《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

10. 若等腰三角形的底边与底边上的高的比是2$\sqrt{3}$ : 1，则它的底角的度数为 （ ）
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°

答案： B

11. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，cosB = $\frac{3}{4}$，AE平分∠BAC，且AE⊥CE于点E，点D为BC的中点，连接DE，则DE的长为________．

答案： 4−$\sqrt{7}$

12.（2024·安阳二模）在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，D为直角边AC的中点，点E在斜边上且AE = 3，若△ADE为直角三角形，则BC的值为________．

答案： 3或4

13.（2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是边BC上的中线，AB = 10，AD = 6，tan∠ACB = 1.
（1）求BC的长.
（2）求sin∠DAE的值.

答案： 解:
(1)
∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∴BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
∵tan∠ACB=$\frac{AD}{CD}$=1,
∴CD=AD=6.
∴BC=BD+CD=8+6=14.
(2)
∵AE是边BC上的中线,
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=7.
∴DE=CE−CD=7−6=1.
∵AD⊥BC,
∴AE=$\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{6^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{37}$
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{37}}$=$\frac{\sqrt{37}}{37}$.

14.（2024·滨州节选）【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14. 如图，在锐角△ABC中，探究$\frac{a}{\sin A}$，$\frac{b}{\sin B}$，$\frac{c}{\sin C}$之间的关系.（提示：分别作AB和BC边上的高.）
【得出结论】
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.
【基础应用】
在△ABC中，∠B = 75°，∠C = 45°，BC = 2，利用以上结论求AB的长.
【推广证明】
进一步研究发现，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$（R为△ABC外接圆的半径）.
请利用图1证明：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.

答案： 解:[基础应用]
∵∠B=75°,∠C=45°,
∴∠A=180°−∠B −∠C=60°.
∵∠C=45°,BC=2,$\frac{BC}{\sin A}$=$\frac{AB}{\sin C}$,
∴$\frac{2}{\sin60°}$=$\frac{AB}{\sin45°}$.
∴AB=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.[推广证明]作AD⊥BC于点D,作CE ⊥AB于点E，连接AO并延长交⊙O于点F，连接CF.
∵$\frac{a\cdot AD}{2}$=$\frac{c\cdot CE}{2}$,
∴a·c sinB=c·b sinA.
∴$\frac{a}{\sin A}$=$\frac{b}{\sin B}$.同理可证，$\frac{a}{\sin A}$=$\frac{c}{\sin C}$.
∴$\frac{a}{\sin A}$=$\frac{b}{\sin B}$=$\frac{c}{\sin C}$.
∵AF是⊙O的直径,
∴∠ACF=90°.
∵∠B=∠AFC,
∴sinB=sin∠AFC =$\frac{b}{AF}$=$\frac{b}{2R}$.
∴$\frac{b}{\sin B}$=2R.
∴$\frac{a}{\sin A}$=$\frac{b}{\sin B}$=$\frac{c}{\sin C}$=2R.