《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

1. 四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》. 图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H. 图2中，四分仪为正方形ABCD，方井为矩形BEFG. 若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5，则井深BG为（ ）

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： A

2. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，作AF⊥DE于点F，沿虚线分割再重新拼接（无重叠、无缝隙）成四边形GBCH. 若DE = 4，AF = 3，则四边形DBCE的面积为______.

答案： 18

3. 如图，AC，BD交于点O，连接AB，CD. 若要使△AOB∽△COD，则可以添加条件：____________________.（写出一个条件即可）

答案： $\angle A=\angle C$(答案不唯一)

4. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，BD交AC于点E，请找出一个与△BDC相似的三角形：____________________.（写出一个即可）

答案： $\triangle CDE$(答案不唯一)

5.（2024·鹤壁模拟）如图所示的是凸透镜成像示意图，BD是蜡烛AC通过凸透镜MN所成的像. 已知蜡烛AC离凸透镜MN的水平距离OA为30 cm，该凸透镜的焦距OF为10 cm，光线CE//OF，则像BD离凸透镜MN的水平距离为________.

答案： 15 cm

6.（2023·郑州八中期中改编）阅读理解：
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A = 40°，∠B = 60°. 求证：CD是△ABC的完美分割线.
（2）在△ABC中，若∠A = 48°，CD为△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，请直接写出∠ACB的度数.

答案： 解：
(1)证明：$\because\angle A = 40^{\circ},\angle B = 60^{\circ},\therefore\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A-\angle B = 80^{\circ}.\because\angle A\neq\angle B\neq\angle ACB,\therefore\triangle ABC$不是等腰三角形.$\because CD$平分$\angle ACB,\therefore\angle ACD=\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB = 40^{\circ}.\therefore\angle ACD=\angle A = 40^{\circ}.\therefore\triangle ACD$为等腰三角形.$\because\angle DCB=\angle A = 40^{\circ},\angle CBD=\angle ABC,\therefore\triangle BCD\backsim\triangle BAC.\therefore CD$是$\triangle ABC$的完美分割线.
(2)$\angle ACB$的度数为$96^{\circ}$或$114^{\circ}$.