《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

7. 一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为_______海里.（参考数据：sin37°≈$\frac{3}{5}$，cos37°≈$\frac{4}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$）

答案： $50$

8.（2024·许昌禹州市一模）济郑高铁的开通大大缩短了郑州到济南的出行时间，未开通前，从郑州（A地）到济南（B地），需要绕道徐州（C地）. 如图所示，已知徐州到济南的距离（BC）约为320 km，济南在郑州北偏东50°方向，徐州在郑州南偏东85°方向，∠B＝60°，请你计算济郑高铁开通后，从郑州到济南不绕道徐州少走约_______km.（结果保留整数. 参考数据：$\sqrt{3}$≈1. 73，$\sqrt{6}$≈2. 45）

答案： $275$

9.（2023·河南模拟）小明想要测量如图所示的大树AB的高度，从树的底部B处沿BC方向走15米到了坡度为3∶4的斜坡坡底C处，再沿斜坡向上走10米到D处，测得大树顶部A的仰角为24°，小明的身高DE＝1. 6米，求树高AB.（结果精确到0. 1米，参考数据：sin24°≈0. 41，cos24°≈0. 91，tan24°≈0. 45）

答案： 解：过点$E$作$EF\perp AB$于点$F$，延长$ED$交$BC$的延长线于点$G$，$\therefore EG\perp BG$. 在$Rt\triangle CDG$中，$\tan\angle DCG=\frac{DG}{CG}=\frac{3}{4}$，设$DG = 3x$米，则$CG = 4x$米，$\because CD = 10$米，$(3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}$，解得$x = 2$（负值舍去）. $\therefore DG = 6$米，$CG = 8$米. 在矩形$BGEF$中，$EF = BG = 15 + 8 = 23$（米），$BF = EG = 6 + 1.6 = 7.6$（米）. 在$Rt\triangle AEF$中，$\angle AEF = 24^{\circ}$，$\therefore AF = EF\cdot\tan24^{\circ}\approx23\times0.45 = 10.35$（米）. $\therefore AB = AF + BF = 10.35 + 7.6 = 17.95\approx18.0$（米）. 答：树高$AB$约为$18.0$米.

10.（2023·聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应. 如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520 m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1 200 m处. 在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68. 2°方向，南关桥C在南偏东56. 31°方向（A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离.（结果精确到1 m，参考数据：sin68. 2°≈0. 928，cos68. 2°≈0. 371，tan68. 2°≈2. 50，sin56. 31°≈0. 832，cos56. 31°≈0. 555，tan56. 31°≈1. 50）

答案： 解：过点$P$作$PE\perp BC$于点$E$，过点$A$作$AD\perp PE$于点$D$，则四边形$ADEB$是矩形，$\therefore DE = AB = 520$ m. 设$PD = x$ m，则$PE = PD + DE=(x + 520)$ m. 在$Rt\triangle APD$中，$\because\angle PAD = 68.2^{\circ}$，$\therefore AD=\frac{PD}{\tan68.2^{\circ}}\approx\frac{x}{2.5}=\frac{2}{5}x$ m. $\therefore BE = AD=\frac{2}{5}x$ m. $\therefore CE = BC - BE=(1200-\frac{2}{5}x)$ m. 在$Rt\triangle PCE$中，$\tan C=\tan56.31^{\circ}=\frac{PE}{CE}$，$\therefore\frac{x + 520}{1200-\frac{2}{5}x}\approx1.5$，解得$x = 800$. $\therefore PE = 800 + 520 = 1320$（m）. 答：明珠大剧院到龙堤$BC$的距离约为$1320$ m.