《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

1.(2024.凉山州)如图，正比例函数$y_1=\frac{1}{2}x$与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(m,2)$。
　(1)求反比例函数的解析式。
　(2)把直线$y_1=\frac{1}{2}x$向上平移3个单位长度后与$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$B$，连接$AB$，$OB$，求$\triangle AOB$的面积。
　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵点$A(m,2)$在正比例函数$y_1 = \frac{1}{2}x$的图象上，$\therefore 2 = \frac{1}{2}m$，解得$m = 4$。$\therefore A(4,2)$。$\because$点$A(4,2)$在反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}$的图象上，$\therefore k = 8$。$\therefore$反比例函数的解析式为$y_2 = \frac{8}{x}$。
(2) 把直线$y_1 = \frac{1}{2}x$向上平移3个单位长度后得到直线$y = \frac{1}{2}x + 3$，设平移后的直线与$y$轴交于点$D$，连接$AD$。由题意，得$D(0,3)$。$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ADO}=\frac{1}{2}\times3\times4 = 6$。

2.(2023.信阳一模)如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=-x + 5$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象相交于$A$，$B$两点，与$x$轴相交于点$C$，连接$OB$，且$\triangle BOC$的面积为$\frac{5}{2}$。
　(1)求反比例函数的解析式。
　(2)将直线$AB$向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线$AB$向下平移了几个单位长度？
　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) 过点$B$作$BD\perp OC$于点$D$。在一次函数$y = -x + 5$中，令$y = 0$，则$x = 5$，$\therefore C(5,0)$。$\therefore OC = 5$。$\therefore S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OC\cdot BD=\frac{5}{2}$，即$\frac{1}{2}\times5BD=\frac{5}{2}$。$\therefore BD = 1$。$\therefore$点$B$的纵坐标为1。
将$y = 1$代入$y = -x + 5$，得$x = 4$。$\therefore B(4,1)$。$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k ＞ 0)$的图象经过点$B$，$\therefore k = 4\times1 = 4$。$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
(2) 设将直线$AB$向下平移$m(m ＞ 0)$个单位长度，得到直线的解析式为$y = -x + 5 - m$。$\therefore\frac{4}{x} = -x + 5 - m$，整理，得$x^{2}+(m - 5)x + 4 = 0$。$\because$直线$AB$向下平移$m(m ＞ 0)$个单位长度后与反比例函数的图象只有一个交点，$\therefore\Delta=(m - 5)^{2}-4\times1\times4 = 0$，解得$m = 9$或$m = 1$。$\therefore$直线$AB$向下平移了1个单位长度或9个单位长度。