《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

11. 若点$A(a,m)$和点$B(b,n)$都在反比例函数$y = \frac{7}{x}$的图象上，且$a ＜ b$，则（ ）
A. $m ＞ n$
B. $m ＜ n$
C. $m = n$
D. $m$，$n$的大小关系无法确定

答案： D

12. 对于函数$y = \frac{2}{x}$，当$x ＞ - 2$时，$y$的取值范围是______________.

答案： $y＜ - 1$或$y＞0$

13. 二次函数$y = ax^2$与反比例函数$y = \frac{a}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

答案： D

14. (2024·济宁)已知点$A(-2,y_1)$，$B(-1,y_2)$，$C(3,y_3)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＜ 0)$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（ ）
A. $y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B. $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C. $y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D. $y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$

答案： C

15. 如图，这是三个反比例函数图象的分支，则$k_1$，$k_2$，$k_3$的大小关系是______________.

方法指导
首先由双曲线的分支所在的象限，确定系数$k_1$，$k_2$，$k_3$的正负，再在第一象限内找点$(1,k_2)$，$(1,k_3)$，通过比较这两点的位置，可得$k_2$，$k_3$的大小关系.

答案： $k_1＜k_3＜k_2$

16. 已知反比例函数$y = \frac{3}{x}$，点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$都在该反比例函数的图象上.
(1)若$y_2 = y_1 + 6$，点$A$和点$B$关于原点对称，求点$B$的坐标.
(2)若$x_1 = 3$，$y_1 + y_2 ＜ 0$，求$x_2$的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$都在该反比例函数的图象上，且点$A$和点$B$关于原点对称，
∴$y_1 + y_2 = 0$.
∵$y_2 = y_1 + 6$，
∴$y_1 + y_1 + 6 = 0$.
∴$y_1 = - 3$.
∴$y_2 = 3$. 将$y_2 = 3$代入$y = \frac{3}{x}$，得$x_2 = 1$.
∴$B(1,3)$.
(2)
∵$x_1 = 3$，
∴$y_1 = 1$.
∵$y_1 + y_2＜0$，
∴$y_2＜ - 1$.
∴$- 3＜x_2＜0$.

17.【注重学习过程】探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程. 结合已有的学习经验，请画出函数$y = \frac{2}{x^2 + 1}$的图象并探究该函数的性质.
(1)绘制函数图象
①列表：下表是$x$与$y$的几组对应值，其中$a =$______；
|$x$|…|$-2$|$-\frac{3}{2}$|$-1$|$-\frac{1}{2}$|$0$|$\frac{1}{2}$|$1$|$\frac{3}{2}$|$2$|…|
|$y$|…|$\frac{2}{5}$|$\frac{8}{13}$|$1$|$\frac{8}{5}$|$a$|$\frac{8}{5}$|$1$|$\frac{8}{13}$|$\frac{2}{5}$|…|
②描点：根据表中的数值描点$(x,y)$，请补充描出点$(0,a)$；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象.

(2)探究函数性质
请写出函数$y = \frac{2}{x^2 + 1}$的两条性质：
①______________________________；
②______________________________.
(3)运用函数图象及性质
根据函数图象，写出不等式$\frac{2}{x^2 + 1} \geq 1$的解集是______________.

答案： 解:
(1)①2　②图略. ③图略.
(2)①函数图象关于$y$轴对称 ②当$x = 0$时，函数取最大值$y = 2$ （答案不唯一）
(3)$- 1\leqslant x\leqslant 1$