《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

10. 已知点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，O为坐标原点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA. 若$\triangle AOB$的面积为5，则k的值为±10.

答案： 10 或 $-10$

11.【开放性问题】（2023·河北）如图，已知点A(3,3)，B(3,1)，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的值：3≤k≤9中的任意一个值均可.

答案： 4(答案不唯一，满足 $3\leqslant k\leqslant9$ 均可)

12. 如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的对角线交于原点O，顶点A，C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上. 若CD⊥x轴于点D，□ABCD的面积为8，则k = -4.

答案： $-4$

13.（2021·河南改编）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与大正方形的一边交于点A(1,2)，且经过小正方形的顶点B，则图中阴影部分的面积为4.

答案： 8

14.（2023·绥化）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC = 2，点D在AC上，且其横坐标为1. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点B，D，则k的值是（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. $\frac{3}{2}$

答案： C

15.（2023·郑州中原区模拟）如图，直线y = 2x - 3与反比例函数$y=\frac{k - 1}{x}$的图象相交于A(2,m)，B(n,-4)两点，连接OA，OB.
（1）求k和n的值.
（2）求$\triangle AOB$的面积.
（3）若点P是x轴上一点，且$S_{\triangle AOP}=2S_{\triangle AOB}$，写出点P的坐标.

答案： 解：
(1) $\because$ 点 $B(n,-4)$ 在直线 $y = 2x - 3$ 上，$\therefore -4 = 2n - 3$，解得 $n = -\frac{1}{2}$. $\therefore B(-\frac{1}{2},-4)$. $\because$ 反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ 的图象也经过点 $B$，$\therefore -4=\frac{k - 1}{-\frac{1}{2}}$，解得 $k = 3$.
(2) 设直线 $y = 2x - 3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，当 $x = 0$ 时，$y = -3$. $\therefore OC = 3$. $\because$ 点 $A(2,m)$ 在直线 $y = 2x - 3$ 上，$\therefore m = 2\times2 - 3 = 1$，即 $A(2,1)$. $\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\times3\times(2+\frac{1}{2})=\frac{15}{4}$.
(3) $\because S_{\triangle AOP}=2S_{\triangle AOB}$，$\therefore\frac{1}{2}OP\cdot|y_{A}| = 2\times\frac{15}{4}$，即 $\frac{1}{2}OP = 2\times\frac{15}{4}$. $\therefore OP = 15$. $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-15,0)$ 或 $(15,0)$.

16.（2024·长春）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(4,2)在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上. 将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象交于点C. 若BC = $\sqrt{5}$，则点B的坐标是（ ）

A. (0,$\sqrt{5}$)
B. (0,3)
C. (0,4)
D. (0,2$\sqrt{5}$)

答案： B