《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

10.(2023·周口沈丘县期末)如图，∠ABC = 45°，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，已知∠BPA = ∠BPC = 135°.
(1)求证：△CPB∽△BPA.
(2)若AC⊥BC，求$\frac{AC}{PC}$的值.

答案： 解:
(1)证明:
∵∠BPA = 135°，
∴∠ABP + ∠BAP = 180° - 135° = 45°.
∵∠ABP + ∠CBP = ∠ABC = 45°，
∴∠BAP = ∠CBP.又
∵∠BPA = ∠BPC，
∴△CPB∽△BPA.
(2)
∵AC⊥BC，∠ABC = 45°，
∴△ACB是等腰直角三角形.
∴AB = $\sqrt{2}$BC.
∵△CPB∽△BPA，
∴$\frac{PC}{BP}=\frac{BP}{AP}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{\sqrt{2}BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.设PC = a，则BP = $\sqrt{2}$a，AP = 2a.
∵∠APC = 360° - 135° - 135° = 90°，
∴AC = $\sqrt{AP^{2}+PC^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$.
∴$\frac{AC}{PC}=\frac{\sqrt{5}a}{a}=\sqrt{5}$.

11.(2024·南阳镇平县模拟)如图1所示的是屹立于河南省新郑市南关双洎河南岸的北宋古塔——凤台寺塔，距今已有900余年的历史，为仓颉造字之地.数学综合实践小组用自制的菱形测角仪ABCD测量塔高，其边长为50 cm，较长的对角线DB的长为80 cm，O为对角线的交点，当测角仪的顶点D，A与塔顶避雷装置顶端的点E在同一条直线上时，系在顶点A处的铅垂线AG过点O和顶点C，交地平线FG于点G，经测量得到FG = 26 m，OG = 1.5 m.
(1)求凤台寺塔EF的高(包括顶部高为2 m的避雷装置).
(2)据凤台寺塔的简介知，该塔不包括避雷装置的高度为19.1 m，结合计算结果，提出一条改进测量方法的合理化建议.

答案： 解:
(1)延长DB交EF于点H.由题意，得HF = OG = 1.5m，HO = FG = 26m，∠EHD = 90°.
∵四边形ABCD是菱形，BD = 80cm = 0.8m，
∴∠AOD = 90°，DO = $\frac{1}{2}$BD = 0.4m.
∴DH = HO + DO = 26 + 0.4 = 26.4(m).在Rt△AOD中，AD = 50cm = 0.5m，
∴OA = $\sqrt{AD^{2}-OD^{2}}=0.3$m.
∵∠EHD = ∠AOD = 90°，∠EDH = ∠ADO，
∴△EHD∽△AOD.
∴$\frac{EH}{AO}=\frac{DH}{DO}$.
∴$\frac{EH}{0.3}=\frac{26.4}{0.4}$.
∴EH = 19.8.
∴EF = EH + HF = 19.8 + 1.5 = 21.3(m).答:凤台寺塔EF的高为21.3m.
(2)多次测量求平均值，可以减少误差(答案不唯一).

12.(2023·嘉兴)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2：1的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是（ ）


A.(2，4)
B.(4，2)
C.(6，4)
D.(5，4)

答案： C

13.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'.若A'B'：AB = 2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的面积是_____.

答案： 8π