《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

7. 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD交AC于点E，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，CE = 1，BC = 2，则AE的长为（ ）

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： B

8. 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C. 若⊙O的半径为3，BC = 5，则PA的长为________.

答案： $\frac{3}{2}$

9.（2024·安阳林州市模拟）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且AC平分∠BAD，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E.
（1）求证：EF是⊙O的切线.
（2）若$AE=\frac{16}{5}$，⊙O的半径是$\frac{5}{2}$，求AC的长.

答案： 解:
(1) 证明:连接OC.
∵EF⊥AD，
∴∠AEC = 90°.
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC = ∠CAB.
∵OA = OC，
∴∠CAB = ∠ACO.
∴∠EAC = ∠ACO.
∴AE//OC.
∴∠OCF = ∠AEC = 90°，即OC⊥EF.
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线.
(2)
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°.
∵∠ACB = ∠AEC = 90°，∠EAC = ∠CAB，
∴△AEC∽△ACB.
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AB}$.
∴$AC^{2}=AE\cdot AB$.
∴$AC^{2}=\frac{16}{5}\times5 = 16$.
∴AC = 4.

10.（2024·苏州）如图，A是反比例函数$y =-\frac{1}{x}(x\lt0)$图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例$y =\frac{4}{x}(x\gt0)$的图象交于点B，则$\frac{AO}{BO}$的值为（ ）

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{1}{3}$

答案： A

11.（2023·眉山节选）在平面直角坐标系中，已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图，当$\frac{PD}{DB}$的值最大时，求点P的坐标及$\frac{PD}{DB}$的最大值.

答案： 解:
(1)
∵抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，
∴$\begin{cases}9a - 3b + c = 0 \\ a + b + c = 0 \\ c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\ b = -2 \\ c = 3\end{cases}$，
∴抛物线的解析式为$y = -x^{2}-2x + 3$.
(2) 设直线AC的解析式为$y = kx + n$，则$\begin{cases}-3k + n = 0 \\ n = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1 \\ n = 3\end{cases}$，
∴直线AC的解析式为$y = x + 3$. 过点P作PE//x轴交直线AC于点E，设P(t，$-t^{2}-2t + 3$)，则E($-t^{2}-2t$，$-t^{2}-2t + 3$)，
∴PE = $-t^{2}-2t - t = -t^{2}-3t$.
∵A(-3,0)，B(1,0)，
∴AB = 1 - (-3) = 4.
∵PE//x轴，
∴△EPD∽△ABD.
∴$\frac{PD}{DB}=\frac{PE}{AB}$.
∴$\frac{PD}{DB}=\frac{-t^{2}-3t}{4}=-\frac{1}{4}(t + \frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{16}$.
∵$-\frac{1}{4}＜0$，
∴当$t = -\frac{3}{2}$时，$\frac{PD}{DB}$的值最大，最大值为$\frac{9}{16}$，此时点P的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.