《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

11. 如图，已知∠DAB = ∠EAC，∠ADE = ∠ABC. 求证：
(1)△ADE∽△ABC.
(2)$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$.

答案： 证明:
(1)
∵∠DAB=∠EAC,
∴∠DAE=∠BAC.又
∵∠ADE=∠ABC,
∴△ADE∽△ABC;
(2)
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$.
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$.
∵∠DAB=∠EAC,
∴△ADB∽△AEC.
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{BD}{CE}$.

12. 如图，已知直线$l_1// l_2// l_3$，相邻两条平行线间的距离都等于1. 若矩形ABCD的四个顶点分别在三条直线上，且AB：BC = 1：2，则矩形的面积等于（ ）

A. $2\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{5}$
C. 2
D. $\frac{5}{2}$

答案： D

13. (2023·周口太康县期末)如图，等边三角形ABC的边长为20，动点P从点B出发沿BC运动到点C，连接AP，作∠APD = 60°，PD交AC于点D，线段CD的最大值为______.

答案： 5

14. 如图，将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与边BC相交于点E. 若AD = 8，DC = 6，则$\frac{AP}{PE}$ = ________.

答案： $\frac{4}{3}$