《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

11.如果两个相似三角形的相似比为3:5,周长的差为4cm,那么较大三角形的周长为________cm.

答案： 10

12.(教材P43习题T12变式)如图,在△ABC 中,点D,E分别在边AB和AC上,且DE//BC.
(1)若AD:DB=1:1,则$S_{\triangle ADE}:S_{四边形DBCE}=$__________.
(2)若$S_{\triangle ADE}=S_{四边形DBCE}$,则AD:DB=____________.

答案：
(1)$\frac{1}{3}$　
(2)$\sqrt{2}+1$

13.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC 上,AF平分∠BAC交DE于点G.若AE=3,EC=1,AD=2,BD=4,则AG:AF的值为__________.

答案： $\frac{1}{2}$

14.(2024.商丘十一中模拟)如图,在▱ABCD 中,点E在边DC上,DE:EC=2:1,连接AE交BD于点F.若△DEF的面积为4,则▱ABCD的面积为（ ）


A.28
B.30
C.32
D.16

答案： B

15.如图,矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边CD上的点P处,折痕与边BC交于点O.
(1)求证:△OCP∽△PDA.
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求AB的长.

答案： 解：
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$\angle B=\angle C=\angle D = 90^{\circ}$. 由折叠的性质，得$\angle APO=\angle B = 90^{\circ}$，
∴$\angle POC = 90^{\circ}-\angle CPO=\angle APD$. 又
∵$\angle C=\angle D$，
∴$\triangle OCP\sim\triangle PDA$.
(2)
∵$\triangle OCP\sim\triangle PDA$，且$\triangle OCP$与$\triangle PDA$的面积比为 1 : 4，
∴$\frac{CP}{DA}=\frac{1}{2}$.
∵$AD = 8$，
∴$CP = 4$. 设$AB = x$，则$CD = AB = AP = x$，$DP = x - 4$. 在$Rt\triangle APD$中，$AP^{2}=AD^{2}+DP^{2}$，即$x^{2}=8^{2}+(x - 4)^{2}$，解得$x = 10$.
∴$AB = 10$.

16.一块直角三角形木板的面积为1.5m²,其中一条直角边AB为1.5m,怎样才能把它加工成一个无拼接且面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求(加工损耗不计,计算结果中的分数可保留).

答案： 解：由$AB = 1.5\ m$，$S_{\triangle ABC}=1.5\ m^{2}$，可得$BC = 2\ m$. 甲：过点$B$作$BH\perp AC$于点$H$，交$DE$于点$P$.
∵$AB = 1.5\ m$，$BC = 2\ m$，
∴$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 2.5\ m$. 由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}AB\cdot BC$，得$BH=\frac{AB\cdot BC}{AC}=1.2\ m$. 设甲设计的正方形桌面的边长为$x\ m$，
∵$DE// AC$，
∴$Rt\triangle BDE\sim Rt\triangle BAC$.
∴$\frac{BP}{BH}=\frac{DE}{AC}$，即$\frac{1.2 - x}{1.2}=\frac{x}{2.5}$，解得$x=\frac{30}{37}$. 设乙设计的正方形桌面的边长为$y\ m$，由$DE// AB$，得$Rt\triangle CDE\sim Rt\triangle CBA$.
∴$\frac{DE}{BA}=\frac{CD}{CB}$，即$\frac{y}{1.5}=\frac{2 - y}{2}$，解得$y=\frac{6}{7}$.
∵$0＜x＜y$，
∴$x^{2}＜y^{2}$，即$S_{正方形甲}＜S_{正方形乙}$.
∴乙木匠的方法符合要求.