《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

10.在如图所示的象棋棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)


A.①处　
　B.②处　
　C.③处　
　D.④处

答案： B

11.如图①②,在△ABC中,AB = 4,BC = AC = 6.将△ABC沿图中的虚线剪开,对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)


A.只有①中的阴影三角形与△ABC相似
B.只有②中的阴影三角形与△ABC相似
C.两个阴影三角形都与△ABC相似
D.两个阴影三角形都与△ABC不相似

答案： C

12.如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC = $\sqrt{3}$AB = 3BD,则AD:AC的值为________.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{3}$

13.如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且CD² = AD·BC.
(1)求证:△APD∽△PBC.
(2)求∠APB的度数.

答案： 解：
(1) 证明：$\because\triangle PCD$是等边三角形，$\therefore PD = PC = DC$，$\angle PDC=\angle PCD = 60^{\circ}$. $\therefore\angle ADP=\angle PCB = 120^{\circ}$. $\because CD^{2}=AD\cdot BC$，$\therefore AD:PC = PD:BC$. $\therefore\triangle APD\sim\triangle PBC$.
(2) $\because\triangle APD\sim\triangle PBC$，$\therefore\angle APD=\angle B$. $\because\angle B+\angle BPC=\angle PCD = 60^{\circ}$，$\therefore\angle APD+\angle BPC = 60^{\circ}$. $\therefore\angle APB = 60^{\circ}+\angle DPC = 120^{\circ}$.

14.(教材P57复习题T3变式)如图，点P在BD 上,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D.
(1)若AB = 4,BP = 3,PC = 10,CD = 6,求证:AP⊥PC.
(2)若AB = 6,CD = 4,BD = 14,点P在BD 上移动，当△PCD与△ABP相似时，求BP的长.

答案： 解：
(1) 证明：$\because CD\perp BD$，$PC = 10$，$CD = 6$，$\therefore PD=\sqrt{PC^{2}-CD^{2}} = 8$. $\because\frac{AB}{PD}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{BP}{DC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$\therefore\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{DC}$. 又$\because\angle ABP=\angle PDC = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle ABP\sim\triangle PDC$. $\therefore\angle A=\angle DPC$. $\because\angle A+\angle APB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DPC+\angle APB = 90^{\circ}$. $\therefore\angle APC = 90^{\circ}$. $\therefore AP\perp PC$.
(2) ①若$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$，又$\because\angle ABP=\angle CDP = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle ABP\sim\triangle CDP$. $\therefore\frac{6}{4}=\frac{BP}{14 - BP}$. $\therefore BP = 8.4$；②若$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，又$\because\angle ABP=\angle PDC = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle ABP\sim\triangle PDC$. $\therefore\frac{6}{14 - BP}=\frac{BP}{4}$. $\therefore BP = 2$或$12$. 综上所述，$BP$的长为$8.4$或$2$或$12$.