《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

7.（2023·孝感）如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°. 已知博雅楼的高度CE为15米，则尚美楼的高度DF为______________米.（结果保留根号）

答案： $(30 - 5\sqrt{3})$

8.（2024·南阳模拟）河南博物院创建于1927年，坐落于河南省郑州市农业路中段，为国家级重点博物馆，是首批中央、地方共建国家级博物馆之一. 主体展馆位于院区中央，主展馆主体建筑以元代古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为方斗形，上扬下覆，寓意中原为华夏之源，融汇四方. 如图1，某数学小组测量主展馆AB的高度，如图2，他们在地面一条水平步道FB上架设测角仪，先在点F处测得点A的仰角为45°，然后沿FB方向前进10.9 m到达点D处，此时测得点A的仰角为53°，测角仪的高度为1.6 m，求河南博物院主展馆AB的高度.（结果精确到0.1 m. 参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，$\sqrt{2}$≈1.41）

答案： 解：延长$EC$交$AB$于点$G$，由题意，得$CE = DF = 10.9\ m$，$EF = CD = GB = 1.6\ m$。设$AG = x\ m$，$\because\angle AEG = 45^{\circ}$，$\angle AGE = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle AEG$为等腰直角三角形，$\therefore EG = AG = x\ m$，$\therefore CG = EG - CE=(x - 10.9)m$。在$Rt\triangle AGC$中，$AG = CG\cdot\tan\angle ACG$，$\therefore x\approx1.33(x - 10.9)$，解得$x\approx43.93$，$\therefore AB = AG + BG = 43.93 + 1.6\approx45.5(m)$。答：河南博物院主展馆$AB$的高度约为$45.5\ m$。

9.（2024·河南）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置. 当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大. 数学家研究发现，当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角.
（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB.
（2）经测量，最大视角∠APB = 30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE = 60°，点P到塑像的水平距离PH = 6 m，求塑像AB的高（结果精确到0.1 m. 参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73）.

答案： 解：
(1) 证明：设$AD$与圆交于点$M$，连接$BM$。$\because\angle AMB = \angle ADB+\angle DBM$，$\therefore\angle AMB＞\angle ADB$。$\because\angle AMB = \angle APB$，$\therefore\angle APB＞\angle ADB$。
(2) 在$Rt\triangle AHP$中，$\angle APH = 60^{\circ}$，$PH = 6\ m$。$\because\tan\angle APH=\frac{AH}{PH}$，$\therefore AH = PH\cdot\tan60^{\circ}=6\times\sqrt{3}=6\sqrt{3}(m)$。$\because\angle APB = 30^{\circ}$，$\therefore\angle BPH = \angle APH-\angle APB = 60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。在$Rt\triangle BHP$中，$\tan\angle BPH=\frac{BH}{PH}$，$\therefore BH = PH\cdot\tan30^{\circ}=6\times\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}(m)$。$\therefore AB = AH - BH = 6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\approx4\times1.73\approx6.9(m)$。答：塑像$AB$的高约为$6.9\ m$。