《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

8. 如图，AB为⊙O的直径，弦AD，BC相交于点P. 若CD = 6，AB = 10，求cos∠BPD的值.

答案： 解:连接BD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.在⊙O中,∠BCD=∠BAD,∠ADC=∠ABC,
∴△PCD∽△PAB.
∴$\frac{PD}{PB}=\frac{CD}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
∴在Rt△PDB中,cos∠BPD=$\frac{PD}{PB}=\frac{3}{5}$.

9. 如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠A = 105°，AC = 4，则BC = （ ）

A. 2 + $\sqrt{3}$
B. 2$\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{2}$ + 2$\sqrt{3}$
D. 2 + 2$\sqrt{3}$

答案： D

10. 如图，在△ABC中，CA = CB = 4，cosC = $\frac{1}{4}$，则sinB的值为 （ ）

A. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{15}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{10}}{4}$

答案： D

11. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC : BC = 1 : 2，连接AC，过点O作OP//AB，交AC的延长线于点P. 若P（1，1），则tan∠OAP的值是 （ ）

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. 3

答案： C

12. 如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠D = 90°，AB = 3，BC = 2，tanA = $\frac{4}{3}$，则CD =______.

答案： $\frac{6}{5}$

13. 如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为_______.

答案： $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

14. 如图，在△ABC中，BC = $\sqrt{2}$AC，∠BCA = 135°，求tanA的值.

答案： 解:过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D,则∠BCD =45°.
∴BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC.设AC=k(k＞0),则BC=$\sqrt{2}$AC =$\sqrt{2}$k.
∴BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=k.
∴AD=AC+CD=2k.
∴tanA=$\frac{BD}{AD}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$.

15. 如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠BAC = 15°，AC = 10，求BC的长.

答案： 解:过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
∵∠B =45°,∠BAC=15°,
∴∠DCA=∠B+∠BAC=60°.在Rt△ACD中,
∵cos∠DCA=cos60°=$\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$,sin∠DCA=sin60°=$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,AC=10,
∴CD=5,AD=5$\sqrt{3}$.在Rt△ABD中,
∵tanB=tan45°=$\frac{AD}{BD}=1$,
∴BD=AD=5$\sqrt{3}$.
∴BC=BD−CD=5$\sqrt{3}$−5.