《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

11. 如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在点C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来(CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O)，已知OM = 4米，CO = 5米，DO = 3米，AO = $\sqrt{73}$米，则汽车从点A处前行的距离AB = ________米时，才能发现点C处的儿童.

答案： 5.75

12. 在Rt△ABC中，按如图所示方式放置两个正方形，使得顶点D，E，M，N均在三角形的边上. 若AC = 3，BC = 4，则小正方形的边长为________.

答案： $\frac{30}{31}$

13. (10分)在如图所示的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(－2，－1)，B(－1，－3)，△O₁A₁B₁与△OAB是以点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B₁的坐标.
(2)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出将△OAB按相似比2放大得到的△OA₂B₂，并写出点B的对应点B₂的坐标.

答案： 解：
(1)图略，$P(-5,-1)$，$B_1(3,-5)$。
(2)图略，$B_2(-2,-6)$。

14. (14分)如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，墙和木板均垂直于地面. 手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处. 点E到地面的高度DE = 3.5 m，点F到地面的高度CF = 1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC = 5.4 m，墙到木板的水平距离为CD = 4 m. 已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一直线上.
(1)求BC的长.
(2)求灯泡到地面的高度AG.

答案： 解：
(1)由题意知，$FC// DE$，$\therefore\triangle BFC\sim\triangle BED$。$\therefore\frac{BC}{BD}=\frac{FC}{ED}$，即$\frac{BC}{BC + 4}=\frac{1.5}{3.5}$。解得$BC = 3$。$\therefore BC$的长为 3 m。
(2)$\because AC = 5.4$ m，$\therefore AB = 5.4 - 3 = 2.4$（m）。$\because\angle GBA=\angle FBC$，$\angle GAB=\angle FCB = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle BGA\sim\triangle BFC$。$\therefore\frac{AG}{FC}=\frac{BA}{BC}$，即$\frac{AG}{1.5}=\frac{2.4}{3}$，解得$AG = 1.2$。答：灯泡到地面的高度$AG$为 1.2 m。

15. (16分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，DF，BE，DF与BE交于点G. 已知四边形DFCE是平行四边形，且$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$.
(1)若AC = 25，求线段AE，GF的长.
(2)若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积.

答案： 解：
(1)$\because$四边形$DFCE$是平行四边形，$\therefore DE// BC$，$DF// AC$，$DE = CF$。$\therefore\triangle ADE\sim\triangle ABC$。$\therefore\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$。$\because AC = 25$，$\therefore AE = 10$。$\therefore CE = 25 - 10 = 15$。$\because\frac{DE}{BC}=\frac{CF}{BC}=\frac{2}{5}$，$\therefore\frac{BF}{BC}=\frac{3}{5}$。$\because DF// AC$，$\therefore\triangle BFG\sim\triangle BCE$。$\therefore\frac{GF}{CE}=\frac{BF}{BC}=\frac{3}{5}$。$\therefore GF = 9$。
(2)$\because\triangle BFG\sim\triangle BCE$，$\frac{BF}{BC}=\frac{3}{5}$，$\therefore\frac{S_{\triangle BFG}}{S_{\triangle BCE}}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$。$\because S_{\triangle BFG}+S_{四边形 GFCE}=S_{\triangle BCE}$，$\therefore\frac{S_{四边形 GFCE}}{S_{\triangle BCE}}=\frac{16}{25}$。$\because$四边形$GFCE$的面积为 48，$\therefore S_{\triangle BCE}=75$。$\because\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$，$AE + CE = AC$，$\therefore\frac{CE}{AC}=\frac{3}{5}$。$\therefore\frac{S_{\triangle BCE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{5}$。$\therefore S_{\triangle ABC}=125$。