《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

3.(2024.河南)如图，矩形$ABCD$的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线$AC$，$BD$相交于点$E$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A$。
　(1)求反比例函数的解析式。
　(2)请先描出反比例函数图象上不同于点$A$的三个格点，再画出反比例函数的图象。
　(3)将矩形$ABCD$向左平移，当点$E$落在反比例函数的图象上时，平移的距离为________。
　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) $\because$反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点$A(3,2)$，$\therefore 2 = \frac{k}{3}$，解得$k = 6$。$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 图略。
(3)$\frac{9}{2}$

4.(2022.河南)如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(2,4)$和点$B$，点$B$在点$A$的下方，$AC$平分$\angle OAB$，交$x$轴于点$C$。
　(1)求反比例函数的解析式。
　(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段$AC$的垂直平分线。(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(3)线段$OA$与(2)中所作的垂直平分线相交于点$D$，连接$CD$。求证：$CD// AB$。
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) $\because$反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点$A(2,4)$，$\therefore k = 2\times4 = 8$。$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) 图略。
(3) 证明：$\because AC$平分$\angle OAB$，$\therefore\angle OAC=\angle BAC$。$\because$点$D$在线段$AC$的垂直平分线上，$\therefore DA = DC$。$\therefore\angle OAC=\angle DCA$。$\therefore\angle DCA=\angle BAC$。$\therefore CD// AB$。

5.(2023.河南)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的点$A(\sqrt{3},1)$和点$B$为顶点，分别作菱形$AOCD$和菱形$OBEF$，点$D$，$E$在$x$轴上，以点$O$为圆心，$OA$的长为半径作$\overset{\frown}{AC}$，连接$BF$。
　(1)求$k$的值。
　(2)求扇形$AOC$的半径及圆心角的度数。
　(3)请直接写出图中阴影部分面积之和。
　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) 将$A(\sqrt{3},1)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$1 = \frac{k}{\sqrt{3}}$，解得$k = \sqrt{3}$。
(2) 过点$A$作$AG\perp OD$于点$G$，$\because A(\sqrt{3},1)$，$\therefore AG = 1$，$OG = \sqrt{3}$。$\therefore OA=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}} = 2$。$\therefore$扇形$AOC$的半径为2。$\because AG=\frac{1}{2}OA$，$\therefore\angle AOG = 30^{\circ}$。由菱形的性质可知，$\angle AOG=\angle COG = 30^{\circ}$，$\therefore\angle AOC = 60^{\circ}$。$\therefore$圆心角的度数为$60^{\circ}$。
(3)$S_{阴影}=3\sqrt{3}-\frac{2}{3}\pi$。