《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

8. 在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是 （ ）

A. 四边形NPMQ
B. 四边形NPMR
C. 四边形NHMQ
D. 四边形NHMR

答案： A

9. 如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O.
（2）△ABC与△A'B'C'的相似比为________.
（3）以点O为位似中心，画出把△ABC按相似比$\frac{1}{2}$缩小得到的△A₁B₁C₁.

答案： 解：
(1)图略.
(2)1 : 2
(3)图略.

10. 如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点A，B，A'，B'，O共线，点O为位似中心.
（1）AC与A'C'平行吗？为什么？
（2）若AB = 2A'B'，OC' = 5，求CC'的长.

答案： 解：
(1)$AC// A'C'$. 理由如下：$\because\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是位似图形，$\therefore\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$. $\therefore\angle A=\angle C'A'B'$. $\therefore AC// A'C'$.
(2)$\because\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$，$\therefore\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$. $\because AB = 2A'B'$，$\therefore\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{2}{1}$. 又$\because\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是位似图形，$\therefore\frac{OC}{OC'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{2}{1}$. $\because OC' = 5$，$\therefore OC = 10$. $\therefore CC' = OC - OC' = 10 - 5 = 5$.

11. 我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心. 利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.
（1）如图1，点O是等边三角形PQR的中心，P'，Q'，R'分别是OP，OQ，OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形. 此时，△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别为______.
A. 2、点P
B. $\frac{1}{2}$、点P
C. 2、点O
D. $\frac{1}{2}$、点O
（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形. 阅读后证明相应问题.
画法：
①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连接OE并延长，交AB于点E'，过点E'分别作E'C'//EC交OA于点C'，E'D'//ED交OB于点D'；
③连接C'D'，则△C'D'E'是△AOB的内接三角形.
求证：△C'D'E'是等边三角形.

答案：
(1)D
(2)证明：$\because E'C'// EC$，$E'D'// ED$，$\therefore\triangle OCE\backsim\triangle OC'E'$，$\triangle ODE\backsim\triangle OD'E'$. $\therefore CE:C'E' = OE:OE'$，$DE:D'E' = OE:OE'$，$\angle CEO=\angle C'E'O$，$\angle DEO=\angle D'E'O$. $\therefore CE:C'E' = DE:D'E'$，$\angle CED=\angle C'E'D'$. $\therefore\triangle CDE\backsim\triangle C'D'E'$. $\because\triangle CDE$是等边三角形，$\therefore\triangle C'D'E'$是等边三角形.