《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

11. 如图，在三角形纸片ABC中，∠A = 76°，∠B = 34°. 将三角形纸片沿某处剪开，下列四种剪法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 （ ）

A. ①②
B. ②④
C. ①③
D. ③④

答案： C

12.（教材P35例2变式）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E. 若OE = 3，OB = 5，则CD的长为______.

答案： 9.6

13. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE = 2 cm，BD，EF交于点G. 若点G是EF的中点，则BG的长为______ cm.

答案： $\sqrt{13}$

14. 如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD = ∠ABE.
（1）求证：△ABC∽△AEB.
（2）当AB = 6，AC = 4时，求AE的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD = ∠ACB.
∵∠ACD = ∠ABE，
∴∠ACB = ∠ABE.
∵∠BAC = ∠EAB，
∴△ABC∽△AEB.
(2)
∵△ABC∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AC}{AB}$.
∵AB = 6，AC = 4，
∴$\frac{6}{AE}$=$\frac{4}{6}$.
∴AE = 9.

15.【类比思想】如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC = ∠EDF = 90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合. 将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
（1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP = AQ时，求证：△BPE≌△CQE.
（2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时.
①求证：△BPE∽△CEQ；
②若BP = 2，CQ = 9，求BC的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B = ∠C = 45°，AB = AC.
∵AP = AQ，
∴BP = CQ.
∵E是BC的中点，
∴BE = CE. 在△BPE和△CQE中，$\begin{cases}BE = CE,\\\angle B = \angle C,\\BP = CQ,\end{cases}$
∴△BPE ≌△CQE(SAS).
(2)①证明：
∵∠BEF = ∠C + ∠CQE，∠BEF = ∠BEP + ∠DEF，且∠C = ∠DEF = 45°，
∴∠CQE = ∠BEP. 又
∵∠B = ∠C，
∴△BPE∽△CEQ. ②
∵△BPE ∽△CEQ，
∴$\frac{BE}{CQ}$=$\frac{BP}{CE}$.
∴BE·CE = BP·CQ.
∵BE = CE，
∴$BE^{2}$ = BP·CQ.
∵BP = 2，CQ = 9，
∴$BE^{2}$ = 2×9 = 18.
∴BE = 3$\sqrt{2}$.
∴BC = 2BE = 6$\sqrt{2}$.