《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

4.（2024·南阳二模）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在点A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达点B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.（结果精确到1 m.参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，$\sqrt{3}$≈1.73）

答案： 解：
∵∠ACE = 90°，∠CAE = 34°，CE = 55 m，
∴$\tan\angle CAE=\frac{CE}{AC}$.
∴$AC=\frac{CE}{\tan34^{\circ}}=\frac{55}{0.67}\approx82.1$(m).
∵AB = 21 m，
∴$BC = AC - AB = 61.1$(m). 在Rt△BCD中，$\tan\angle DBC=\frac{CD}{BC}=\sqrt{3}$，
∴$CD=\sqrt{3}BC\approx1.73\times61.1\approx105.7$(m).
∴$DE = CD - EC = 105.7 - 55\approx51$(m). 答：炎帝塑像DE的高度约为51 m.

5.如图，一楼房AB后有一假山CD，CD的坡度i = 1：2，山坡面上点E处有一休息亭，测得假山山脚与楼房的水平距离BC = 24米，与休息亭的距离CE = 8$\sqrt{5}$米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为43°.
（1）求点E到水平地面的距离.
（2）求楼房AB的高.（结果精确到0.1米，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

答案： 解：
(1)过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵CD的坡度$i = 1:2$，
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{2}$.
∴设EF = x米，则CF = 2x米. 在Rt△CEF中，$CE=\sqrt{CF^{2}+EF^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{5}x$米，
∵$CE = 8\sqrt{5}$米，
∴$\sqrt{5}x = 8\sqrt{5}$.
∴x = 8.
∴EF = 8米，CF = 16米. 答：点E到水平地面的距离为8米.
(2)延长FE交AH于点G，则四边形ABFG为矩形.
∴$AG = BF = BC + CF = 24 + 16 = 40$（米），AB = GF，∠AGE = 90°，在Rt△AGE中，∠GAE = 43°，
∴$GE = AG\cdot\tan43^{\circ}\approx40\times0.93 = 37.2$（米）.
∴$AB = GF = EF + GE = 8 + 37.2 = 45.2$（米）. 答：楼房AB的高约为45.2米.

6.（2023·恩施改编）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高.如图，AB的长为5 m，高BC为3 m.他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°，点A，B，C，D，E在同一平面内，则信号塔DE的高约为______m.（结果保留整数，参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80）

答案： 31