《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

1. 如图，这是一段索道的示意图. 已知A，B两点间的距离为30米，∠A = α，则缆车从点A到达点B上升的高度（BC的长）为（ ）

A. 30sinα米
B. $\frac{30}{\sin\alpha}$米
C. 30cosα米
D. $\frac{30}{\cos\alpha}$米

答案： A

2.【真实问题情境】如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB = AC，∠ABC = 27°，BC = 44 cm，则高AD约为（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）（ ）

A. 9.90 cm
B. 11.22 cm
C. 19.58 cm
D. 22.44 cm

答案： B

3. 如图，点A，B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为E. 若DE = 15 cm，AD = 14 cm，则半径OA的长为_______cm.（结果精确到0.1 cm，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）

答案： 24.5

4.（教材P76练习T2变式）如图，某施工队沿AC方向开山修路. 为了加快施工进度，施工队需在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 120°，BD = 520 m，∠D = 30°，那么当另一边的开挖点E离点D多远时，正好使A，C，E三点在同一条直线上？（$\sqrt{3}$取1.732，结果取整数）

答案： 解：$\because\angle ABD = 120^{\circ},\angle D = 30^{\circ}$，点$A,C,E$在一条直线上，$\therefore\angle AED = 120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。在$Rt\triangle BDE$中，$BD = 520\ m$，$\angle D = 30^{\circ}$，$\therefore\cos D=\frac{ED}{520}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore DE = 260\sqrt{3}\ m\approx450\ m$。答：当另一边上开挖点$E$离点$D450\ m$时，正好使$A,C,E$三点在同一条直线上。

5.（教材P78习题T3变式）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）. 为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处测得B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为________米.

答案： $\frac{800}{\tan\alpha}$

6.（教材P75例4变式）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°. 已知教学楼AB的高度为20 m，求信号塔的高度.（计算结果保留根号）

答案： 解：过点$A$作$AE\perp CD$，垂足为$E$。由题意，得$AB = DE = 20\ m$，在$Rt\triangle ADE$中，$\angle EAD = 30^{\circ}$，$\therefore AE=\frac{DE}{\tan30^{\circ}}=\frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 20\sqrt{3}(m)$。在$Rt\triangle AEC$中，$\angle CAE = 45^{\circ}$，$\therefore CE = AE\cdot\tan45^{\circ}=20\sqrt{3}\times1 = 20\sqrt{3}(m)$，$\therefore CD = DE + CE=(20 + 20\sqrt{3})m$。答：信号塔的高度为$(20 + 20\sqrt{3})m$。