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1 已知四边形 $ABCD$ 的对角线互相平分,要使它成为菱形,还需要添加一个条件,这个条件是( )
A.$AB = CD$
B.$AB = BC$
C.$AD = BC$
D.$AC = BD$
A.$AB = CD$
B.$AB = BC$
C.$AD = BC$
D.$AC = BD$
答案：
B 【解析】
∵ 四边形 ABCD 的对角线互相平分，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又
∵ AB=BC(一组邻边相等)，
∴ 四边形 ABCD 是菱形. 故选 B.
∵ 四边形 ABCD 的对角线互相平分，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又
∵ AB=BC(一组邻边相等)，
∴ 四边形 ABCD 是菱形. 故选 B.
2 如图,在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,下列结论中错误的是( )
A.$AB = AD$
B.$AC\perp BD$
C.$AC = BD$
D.$\angle DAC = \angle BAC$
A.$AB = AD$
B.$AC\perp BD$
C.$AC = BD$
D.$\angle DAC = \angle BAC$
答案：
C 【解析】
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ ∠BAC=∠DAC，AB=AD，AC⊥BD，故 A，B，D 正确，无法得出 AC=BD，故选 C.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ ∠BAC=∠DAC，AB=AD，AC⊥BD，故 A，B，D 正确，无法得出 AC=BD，故选 C.
3 [2025 四川雅安校级质检]如图,在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,点 $E$ 为 $CD$ 的中点. 若 $OE = 3$,则菱形 $ABCD$ 的周长为( )
A.6
B.12
C.24
D.48
A.6
B.12
C.24
D.48
答案：
C 【解析】
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ OB=OD，AB=BC=CD=DA.
∵ 点 E 为 CD 的中点，
∴ OE 是△BCD 的中位线，
∴ BC=2OE.
∵ OE=3，
∴ BC=2OE=6，
∴ C菱形ABCD=4BC=4×6=24. 故选 C.
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ OB=OD，AB=BC=CD=DA.
∵ 点 E 为 CD 的中点，
∴ OE 是△BCD 的中位线，
∴ BC=2OE.
∵ OE=3，
∴ BC=2OE=6，
∴ C菱形ABCD=4BC=4×6=24. 故选 C.
4 [2024 甘肃兰州城关区期中]如图,在菱形 $ABCD$ 中,点 $A$ 在 $x$ 轴上,点 $B$ 的坐标为 $(8,2)$,点 $D$ 的坐标为 $(0,2)$,则点 $C$ 的坐标为( )
A.$(2,2)$
B.$(2,4)$
C.$(4,2)$
D.$(4,4)$
A.$(2,2)$
B.$(2,4)$
C.$(4,2)$
D.$(4,4)$
答案：
D 【解析】连接 AC，BD 交于点 E，如图所示.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，BE=DE=$\frac{1}{2}$BD.
∵ 点 B 的坐标为(8,2)，点 D 的坐标为(0,2)，
∴ AE=2=OD，DE=OA=4，
∴ AC=4，
∴ 点 C 的坐标为(4,4). 故选 D.
D 【解析】连接 AC，BD 交于点 E，如图所示.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，BE=DE=$\frac{1}{2}$BD.
∵ 点 B 的坐标为(8,2)，点 D 的坐标为(0,2)，
∴ AE=2=OD，DE=OA=4，
∴ AC=4，
∴ 点 C 的坐标为(4,4). 故选 D.
5 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AB = 1$,$\angle DAB = 60^{\circ}$,则 $AC$ 的长为( )
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案：
D 【解析】如图，连接 BD 交 AC 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°，
∴ OA=OC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，AC⊥BD，
∴ ∠AOB=90°，
∴ OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∴ OA=$\sqrt{AB² - OB²}$=$\sqrt{1² - (\frac{1}{2})²}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ AC=2OA=$\sqrt{3}$，故选 D.
D 【解析】如图，连接 BD 交 AC 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°，
∴ OA=OC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，AC⊥BD，
∴ ∠AOB=90°，
∴ OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
∴ OA=$\sqrt{AB² - OB²}$=$\sqrt{1² - (\frac{1}{2})²}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ AC=2OA=$\sqrt{3}$，故选 D.
6 [2025 陕西榆林调研]如图,点 $E$ 是菱形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上一点,连接 $AE$,若 $AD = DE$,$\angle AEB = 105^{\circ}$,则 $\angle BAE$ 的度数为______$^{\circ}$.
答案：
45 【解析】
∵ ∠AEB=105°，
∴ ∠AED=75°.
∵ AD=DE，
∴ ∠AED=∠EAD=75°，
∴ ∠ADB=30°.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=AD，
∴ ∠ABD=∠ADB=30°，
∴ ∠BAE=∠AED - ∠ABD=45°. 故答案为 45.
∵ ∠AEB=105°，
∴ ∠AED=75°.
∵ AD=DE，
∴ ∠AED=∠EAD=75°，
∴ ∠ADB=30°.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=AD，
∴ ∠ABD=∠ADB=30°，
∴ ∠BAE=∠AED - ∠ABD=45°. 故答案为 45.
7 [2024 河南周口调研]如图,小陶家有一个菱形中国结装饰,测得 $BD = 12\mathrm{cm}$,$AC = 16\mathrm{cm}$,$AC$,$BD$ 交于点 $O$,$EF\perp AB$ 分别交 $AB$,$CD$ 于点 $E$,$F$,则 $EF$ 的长为______$\mathrm{cm}$.
答案：
$\frac{48}{5}$ 【解析】
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC=8 cm，BO=$\frac{1}{2}$BD=6 cm，
∴ AB=$\sqrt{AO² + BO²}$=10 cm.
∵ S菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC·BD=AB·EF，
∴ $\frac{1}{2}$×16×12=10EF，
∴ EF=$\frac{48}{5}$ cm，故答案为 $\frac{48}{5}$.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC=8 cm，BO=$\frac{1}{2}$BD=6 cm，
∴ AB=$\sqrt{AO² + BO²}$=10 cm.
∵ S菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC·BD=AB·EF，
∴ $\frac{1}{2}$×16×12=10EF，
∴ EF=$\frac{48}{5}$ cm，故答案为 $\frac{48}{5}$.
8 [2025 湖南张家界质检]如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AE\perp BC$ 于点 $E$,$AF\perp CD$ 于点 $F$,连接 $EF$.
(1)求证：$AE = AF$；
(2)若 $\angle B = 60^{\circ}$,求 $\angle AEF$ 的度数.
(1)求证：$AE = AF$；
(2)若 $\angle B = 60^{\circ}$,求 $\angle AEF$ 的度数.
答案：
(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=AD，∠B=∠D. 又
∵ AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，
∴ ∠AEB=∠AFD=90°. 在△ABE 与△ADF 中，{∠B=∠D，∠AEB=∠AFD，AB=AD}，
∴ △ABE≌△ADF(AAS)，
∴ AE=AF.
(2)【解】
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD//BC，
∴ ∠B+∠BAD=180°.
∵ ∠B=60°，
∴ ∠BAD=120°. 又
∵ ∠AEB=90°，∠B=60°，
∴ ∠BAE=30°. 由
(1)知△ABE≌△ADF，
∴ ∠BAE=∠DAF=30°，
∴ ∠EAF=120° - 30° - 30°=60°.
∵ 由
(1)知 AE=AF，
∴ △AEF 是等边三角形，
∴ ∠AEF=60°.
(1)【证明】
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=AD，∠B=∠D. 又
∵ AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，
∴ ∠AEB=∠AFD=90°. 在△ABE 与△ADF 中，{∠B=∠D，∠AEB=∠AFD，AB=AD}，
∴ △ABE≌△ADF(AAS)，
∴ AE=AF.
(2)【解】
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AD//BC，
∴ ∠B+∠BAD=180°.
∵ ∠B=60°，
∴ ∠BAD=120°. 又
∵ ∠AEB=90°，∠B=60°，
∴ ∠BAE=30°. 由
(1)知△ABE≌△ADF，
∴ ∠BAE=∠DAF=30°，
∴ ∠EAF=120° - 30° - 30°=60°.
∵ 由
(1)知 AE=AF，
∴ △AEF 是等边三角形，
∴ ∠AEF=60°.
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