《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

23. （本小题满分10分）已知二次函数$y = x^{2}+bx + c$（$b$，$c$为常数）的图象经过点$A(-2,5)$，对称轴是直线$x = -\frac{1}{2}$.
(1)求此二次函数的表达式.
(2)若点$B(1,7)$向上平移2个单位长度，再向左平移$m(m ＞ 0)$个单位长度后恰好落在$y = x^{2}+bx + c$的图象上，求$m$的值.
(3)当$-2\leq x\leq n$时，二次函数$y = x^{2}+bx + c$的最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$，求$n$的取值范围.

答案： 23.二次函数的图象与性质
【思维导图】
(3)已知条件$\to$二次函数图象的对称轴$\to$二次函数的增减性$\to$分$n ＜ - \frac{1}{2}$,$n \geqslant - \frac{1}{2}$两种情况讨论$\to n$的取值范围.
解:
(1)由对称轴$x = - \frac{b}{2a} = - \frac{b}{2 × 1} = - \frac{1}{2}$得$b = 1$,
又由二次函数$y = x^{2} + bx + c$($b$,$c$为常数)的图象经过点$A(-2,5)$得$4 - 2b + c = 5$,所以$c = 3$. (2分)
所以二次函数的表达式为$y = x^{2} + x + 3$. (3分)
(2)点$B(1,7)$向上平移2个单位长度,向左平移$m$个单位长度后的点坐标为$(1 - m,9)$, (4分)
因为点$(1 - m,9)$在二次函数$y = x^{2} + x + 3$图象上,
所以$(1 - m)^{2} + (1 - m) + 3 = 9$,解得$m_{1} = 4$,$m_{2} = -1$. (5分)
又因为$m ＞ 0$,所以$m = 4$. (6分)
(3)因为二次函数$y = x^{2} + x + 3$图象的对称轴为直线$x = - \frac{1}{2}$,
所以当$x \leqslant - \frac{1}{2}$时,$y$随着$x$的增大而减小.
当$x \geqslant - \frac{1}{2}$时,$y$随着$x$的增大而增大;
当$x = - \frac{1}{2}$时,$y = \frac{11}{4}$. (7分)
①当$n ＜ - \frac{1}{2}$时,$-2 \leqslant x \leqslant n$,二次函数的最大值为5,二次函数的最小值大于$\frac{11}{4}$,最大值与最小值的差小于$\frac{9}{4}$,不符合题意. (8分)
②当$n \geqslant - \frac{1}{2}$时,$-2 \leqslant x \leqslant n$,二次函数的最小值为$\frac{11}{4}$,而最大值与最小值的差为$\frac{9}{4}$,所以最大值为5,此时$x = -2$或$1$,
所以$- \frac{1}{2} \leqslant n \leqslant 1$. (9分)
综上①②知,满足条件的$n$的取值范围为$- \frac{1}{2} \leqslant n \leqslant 1$.
(10分)

24. （本小题满分12分）如图，在圆内接四边形$ABCD$中，$AC$，$BD$是对角线，$AD ＜ AC$，$\angle ADC ＜ \angle BAD$.在$AD$的延长线上取点$E$，使$AE = AC$，在$BA$的延长线上取点$F$，连接$EF$，使$\angle AFE = \angle ADC$.
(1)若$\angle AFE = 60^{\circ}$，$CD$是圆的直径，求$\angle ABD$的度数.
(2)求证：①$EF// BC$.
②$EF = BD$.

答案：
24.圆周角定理的推论+圆内接四边形的性质+全等三角形的判定与性质+平行线的判定+相似三角形的判定与性质
解:
(1)因为$CD$是圆的直径,
所以$\angle DAC = 90^{\circ}$.
又因为$\angle AFE = 60^{\circ}$,
所以$\angle ADC = \angle AFE = 60^{\circ}$. (2分)
所以$\angle ACD = 30^{\circ}$.
所以$\angle ABD = 30^{\circ}$. (4分)
(2)证明:①因为$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$,$\angle AFE = \angle ADC$,
所以$\angle AFE + \angle ABC = 180^{\circ}$.
所以$EF // BC$. (7分)
②解法1:如图1,由已知,在$\overset{\frown}{BCD}$上取点$P$,连接$BP$,$DP$,使$\angle PDB = \angle ADC$,

则$\overset{\frown}{PCB} = \overset{\frown}{ABC}$,
所以$PB = AC$.
因为$AE = AC$,
所以$AE = PB$. (10分)
因为$\angle BPD + \angle DAB = 180^{\circ}$,$\angle EAF + \angle DAB = 180^{\circ}$,
所以$\angle EAF = \angle BPD$.
又$\angle AFE = \angle ADC = \angle PDB$,
所以$\triangle FEA \cong \triangle DBP$.
所以$EF = BD$. (12分)
解法2:如图2,延长$CB$,$EA$交于点$P$.

由①知$EF // BC$,
所以$\triangle PAB \sim \triangle EAF$.
所以$PA:PB = EA:EF$. (9分)
又因为$\angle PCA = \angle PDB$,$\angle P = \angle P$,
所以$\triangle PAC \sim \triangle PBD$.
所以$PA:PB = AC:BD$.
所以$EA:EF = AC:BD$.
因为$EA = AC$,
所以$EF = BD$. (12分)
(解析人:杜伟)