《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

3. 阅读并完成下列问题：任意给定一个矩形 A，是否存在另一矩形 B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
当已知矩形 A 的相邻两边长分别为 6 和 1 时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的相邻两边长分别是 $x$ 和 $y$，由题意可得方程组 $\begin{cases}x+y=\frac{7}{2},\\xy=3,\end{cases}$
消去 $y$，得 $2x^{2}-7x+6=0$.
$\because \Delta =49-48=1＞0$，
$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{3}{2}$.
$\therefore$ 满足要求的矩形 B 存在.
(1) 如果已知矩形 A 的相邻两边长分别为 2 和 1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形 B.
(2) 如果矩形 A 的相邻两边长分别为 $m$ 和 $n$，那么请你研究当 $m$，$n$ 满足什么条件时，矩形 B 存在，并说明理由.

答案：
(1)设所求矩形的两边分别是$x$和$y$，
由题意得$\begin{cases}x + y=\frac{3}{2},\\xy = 1,\end{cases}$
消去$y$，得$2x^{2}-3x + 2 = 0$，
$\because\Delta=9 - 16＜0$，
$\therefore$不存在满足要求的矩形B.
(2)当$(m + n)^{2}-8mn\geqslant0$时，矩形B存在.
理由：设所求矩形的两边长分别为$x$，$y$，
由题意得$\begin{cases}x + y=\frac{m + n}{2},\\xy=\frac{mn}{2},\end{cases}$
消去$y$，得$2x^{2}-(m + n)x + mn = 0$.
$\because\Delta=(m + n)^{2}-8mn$，
$\therefore$当$(m + n)^{2}-8mn\geqslant0$时，满足要求的矩形B存在.

4. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月. 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中. 到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明. 我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法.
赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程 $x^{2}+5x-14=0$，即 $x(x+5)=14$ 的方法. 首先构造了如图 1 所示的图形，图中的大正方形面积是 $(x+x+5)^{2}$，其中四个全等的小矩形面积分别为 $x(x+5)=14$，中间的小正方形面积为 $5^{2}$，所以大正方形的面积又可表示为 $4×14+5^{2}$. 据此易得原方程的正数解为 $x=2$.

任务：
(1) 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程 $x^{2}-3x-10=0$ 解法的正确构图是________（从序号①②③中选择）.

(2) 请你通过上述问题的学习，在图 2 的网格中设计正确的构图，用几何法求方程 $x^{2}+2x-15=0$ 的正数解（写出必要的思考过程）

答案：

(1)②.
【解题过程】$\because$应构造面积是$(x + x - 3)^{2}$的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为$x(x - 3)=10$，中间的小正方形面积为$3^{2}$，
$\therefore$大正方形的面积又可表示为$4×10+3^{2}=49$.
$\therefore$大正方形的边长为$7$.$\therefore x + x - 3 = 7$.
$\therefore x = 5$.
故正确构图是②.
(2)首先构造了如图所示的图形，
图中的大正方形面积是$(x + x + 2)^{2}$，其中四个全等的小矩形面积分别为$x(x + 2)=15$，中间的小正方形面积为$2^{2}$.
$\therefore$大正方形的面积又可表示为$4×15+2^{2}=64$.
进一步可知大正方形的边长为$8$，$\therefore x + x + 2 = 8$，
解得$x = 3$.