《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

23. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线$y = x^{2} + 2bx + b^{2} + b$的顶点为A，且与y轴交于点B.
（1）求点A的坐标（用含b的代数式表示）.
（2）若点B的纵坐标为m，求m的最小值.
（3）当$b ＜ 0$，$\angle ABO$为锐角时，求b的取值范围.

答案： 23.二次函数的图象与性质
解：
(1)易知$y=(x + b)^{2}+b$，
∴顶点$A$的坐标为$(-b,b)$. (2分)
(2)当$x = 0$时，$y = m = b^{2}+b=(b+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}$.当$b=-\frac{1}{2}$时，$m$的最小值为$-\frac{1}{4}$. (6分)
(3)当$b ＜ 0$时，顶点$A$在第四象限，又
∵$\angle ABO$为锐角，
∴点$B$在$x$轴上方.
∴$b^{2}+b ＞ 0$，即$b(b + 1)＞0$.
∵$b ＜ 0$，
∴$b + 1 ＜ 0$.
∴$b ＜ - 1$. (10分)

24. （本小题满分12分）如图1，AD为锐角$\triangle ABC$的中线，延长AD与$\triangle ABC$的外接圆$\odot O$交于点E，点F在AD上，连接BF，CF，BE，CE，$\angle CBF = \angle BAE$.
（1）求证：四边形BECF为平行四边形.
（2）如图2，连接OF，若$OF\perp CF$，求证：$\triangle BFE$为等腰三角形.
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC，若OC平分$\angle ACF$，求$\tan\angle BAC$的值.

答案：
24.垂径定理+圆周角定理的推论+相似三角形的判定与性质+全等三角形的判定与性质+锐角三角函数+平行四边形的判定与性质+勾股定理
解：
(1)证明：
∵点$E$在$\triangle ABC$的外接圆上，
∴$\angle BAE=\angle BCE=\angle CBF$.
∴$BF// CE$.
∵$AD$为$\triangle ABC$的中线,
∴$BD = CD$.又
∵$\angle BDF=\angle CDE$,
∴$\triangle BDF\cong\triangle CDE(ASA)$.
∴$BF = CE$.
∴四边形$BECF$为平行四边形. (4分)
(2)证明：如图1，连接$OB$，$OE$（巧作辅助线：构造等腰三角形），
　　　
∵四边形$BECF$为平行四边形，
∴$CF// BE$.
∵$OF\perp CF$，
∴$OF\perp BE$.
∵$OB = OE$，
∴$\angle BOF=\angle EOF$.又
∵$OF = OF$，
∴$\triangle BOF\cong\triangle EOF(SAS)$.
∴$FB = FE$.
∴$\triangle BFE$为等腰三角形. (8分)
(3)[第1步，证明$\triangle OCG\cong\triangle OCF$，得出$AC = 2BE$]
如图2，作$OG\perp AC$交$AC$于点$G$（巧作辅助线：构建垂直关系，应用垂径定理），
　　　　　　　　　　
∴$AC = 2CG$（技巧：遇到“线段中点”“角平分线”与“弦”结合时，可尝试作垂线构造垂径定理，实现线段倍分关系的转化）.
∵$OC$平分$\angle ACF$，
∴$\angle OCG=\angle OCF$.又
∵$\angle OFC=\angle OGC = 90^{\circ}$，$OC = OC$，
∴$\triangle OCG\cong\triangle OCF(AAS)$.
∴$CG = CF = BE$.
∴$AC = 2BE$.
[第2步，证明$\triangle ADC\sim\triangle BDE$，得出$DC = 2DE$]
∵$\angle DAC=\angle DBE$，$\angle DCA=\angle DEB$，
∴$\triangle ADC\sim\triangle BDE$.
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{BE}{AC}=\frac{1}{2}$.
∴$DC = 2DE$.
[第3步，作$CM\perp EF$，设$DM = EM = x$，利用勾股定理表示出$CM$，再结合同角的补角相等及同角的正切值相等得出结论]
在平行四边形$BECF$中，$EF = 2DE = DC = CE$，如图2，作$CM\perp EF$交$EF$于点$M$，设$DM = EM = x$，则$CD = CE = 4x$，
∴$CM=\sqrt{CD^{2}-DM^{2}}=\sqrt{(4x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{15}x$.
∴$\tan\angle CFE=\frac{CM}{MF}=\frac{\sqrt{15}x}{3x}=\frac{\sqrt{15}}{3}$.
∵$\angle CFE+\angle BEC=\angle FCE+\angle BEC = 180^{\circ}$，$\angle BAC+\angle BEC = 180^{\circ}$，
∴$\angle BAC=\angle CFE$.
∴$\tan\angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{3}$. (12分)