《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

22. （本小题满分 10 分）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度$y(^{\circ}C)$与时间$x(min)$的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从$30^{\circ}C$加热到$60^{\circ}C$需要$10min$；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分.

（1）求材料加热到$90^{\circ}C$的时间.
（2）求材料自然降温时，$y$关于$x$的函数表达式.
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在$60\sim90^{\circ}C$（包括$60^{\circ}C$，$90^{\circ}C$），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）. 仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作$8h$（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？

答案： 22 反比例函数与一次函数的应用
解：
(1)由题图可知加热时，y关于x的函数图象为一次函数图象的一部分，
$\therefore$可设函数表达式为y = kx + b，
将点(0,30)，(10,60)的坐标代入，
得$\begin{cases} b = 30, \\ 10k + b = 60, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = 3, \\ b = 30. \end{cases}$
$\therefore y$关于x的函数表达式为y = 3x + 30.
当y = 90时，3x + 30 = 90，解得x = 20.
$\therefore$材料加热到$90^{\circ}C$的时间为20\ min.
(2)由题意可设自然降温阶段y关于x的表达式为$y = \frac{m}{x}，$
将点(20,90)的坐标代入，得m = 1800，
$\therefore y$关于x的函数表达式为$y = \frac{1800}{x}.$
(3)由题意可知，恒温$60^{\circ}C$工作：加热时长为10\ min.
恒温阶段8 × 60 - 10 = 470(min)，
费用为10 × 100 + 470 × 60 = 29200（元）.
间歇加热工作：对于$y = \frac{1800}{x}，$
令y = 60，得x = 30，
除第一次加热到$60^{\circ}C$需要10\ min，后续$60^{\circ}C$加热到$90^{\circ}C，$自然降温到$60^{\circ}C，$一轮需要20分钟.
一天8\ h中，加热时间为10 + 23 × 10 + 10 = 250(min)，
费用为250 × 100 = 25000（元）.
$\because 25000 $＜ 29200，
$\therefore$仅从工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本.

23. （本小题满分 10 分）已知二次函数$y = x^{2}-2ax + a - 1$（$a$为常数）.
（1）若点$(0,n)$，$(4,n)$在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式.
（2）请证明不论$a$为何值，二次函数的图象与$x$轴都有两个交点.
（3）当$0\leqslant x\leqslant3$时，该二次函数有最小值$-3$，求$a$的值.

答案：
23 二次函数与一元二次方程的关系+二次函数的图象与性质+求二次函数表达式
解：
(1)解法一（对称轴法）：由题意可知点$(0,n)$，$(4,n)$在函数图象上，且关于对称轴$x = a$对称，
$\therefore a = \frac{0 + 4}{2} = 2$.
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 1$.
解法二（待定系数法）：将点$(0,n)$，$(4,n)$的坐标代入，
得$\begin{cases} a - 1 = n, \\ 16 - 8a + a - 1 = n, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 2, \\ n = 1. \end{cases}$
$\therefore$该二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 1$.
(2)证明：$\because$判别式$\Delta = (-2a)^2 - 4 × 1 × (a - 1) = 4a^2 - 4a + 4 = (2a - 1)^2 + 3 \geq 3 ＞ 0$，
$\therefore$不论$a$为何值，二次函数的图象与$x$轴都有两个交点[技巧：将求二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a \neq 0$）图象与$x$轴的交点问题转化为关于$x$的一元二次方程根的问题].
(3)①如图1，

若$a \geq 3$，当$x = 3$时，二次函数有最小值，为$9 - 6a + a - 1 = -3$，
解得$a = \frac{11}{5}$（舍去）；
②如图2，

若$a \leq 0$，当$x = 0$时，二次函数有最小值，为$a - 1 = -3$，
解得$a = -2$；
③如图3，

若$0 ＜ a ＜ 3$，当$x = a$时，二次函数有最小值，为$a^2 - 2a^2 + a - 1 = -3$，
解得$a_1 = 2$，$a_2 = -1$（舍去）.
综上所述，满足条件的$a$的值为$\pm 2$.
方法技巧
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图象有如下特征
(1)$a ＞ 0 \Leftrightarrow$抛物线开口向上，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；$a ＜ 0 \Leftrightarrow$抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小.
(2)抛物线的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，当$a$，$b$的符号相同时，抛物线的对称轴在$y$轴的左侧；当$a$，$b$的符号相异时，抛物线的对称轴在$y$轴的右侧.
(3)抛物线的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$，当抛物线的开口向上时，最小值为$y = \frac{4ac - b^2}{4a}$；当抛物线的开口向下时，最大值为$y = \frac{4ac - b^2}{4a}$.