《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

1. 据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”。如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第 2 根上的一个绳结表示 5 个，第 3 根上的一个绳结表示 $ 5 × 5 $ 个），用来记录采集到的野果的个数。若他一共采集到了 47 个野果，则第 2 根绳子上的绳结数是1。

答案： 1 4

2. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”。此图揭示了 $ (a + b)^n $（$ n $ 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律。则 $ (a + b)^9 $ 的展开式中所有项的系数和为$2^{9}$。

答案： 2 $2^{9}$

3. （2025·江苏扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为11,60,61。

答案： 3 11,60,61

4. 传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的，能拼出 1600 多种不同的图形。嘉琪同学用边长为 $ 4\sqrt{2} $ 的正方形纸板做出如图 1 所示的七巧板，拼接成小鱼图案（外轮廓是轴对称图形）并把图案放到圆中，如图 2 所示，A，B，C 三点在圆上。圆的半径是__________。


4 $\frac {73}{16}$

答案： 4 $\frac {73}{16}$

5. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 $ MNPQ $ 拼成的一个大正方形 $ ABCD $。直线 $ MP $ 交正方形 $ ABCD $ 的两边于点 $ E $，$ F $，记正方形 $ ABCD $ 的面积为 $ S_1 $，正方形 $ MNPQ $ 的面积为 $ S_2 $。若 $ BE = kAE $（$ k ＞ 1 $），则用含 $ k $ 的式子表示 $ \frac{S_1}{S_2} $ 的值是$\frac {k^{2}+1}{(k - 1)^{2}}$。

答案： 5 $\frac {k^{2}+1}{(k - 1)^{2}}$

6. 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究，如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90° $，分别以 $ \triangle ABC $ 的三条边为边向外作正方形，连接 $ BF $，$ CD $，过点 $ C $ 作 $ CM \perp DE $ 于点 $ M $，若 $ BF = 3 $，$ \angle FBA = 30° $，则 $ \triangle CDM $ 的面积为______。

答案： 6 $\frac {9\sqrt {3}}{8}$

7. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，延长 $ BG $ 交 $ CD $ 于点 $ M $，连接 $ AG $ 并延长交 $ CD $ 于点 $ N $，若 $ \frac{MN}{CD} = k^2 $（$ k ＞ 0 $），则正方形 $ ABCD $ 的面积与正方形 $ EFGH $ 的面积的比是$\frac {1 + k^{2}}{(1 - k)^{2}}$。

答案： 7 $\frac {1 + k^{2}}{(1 - k)^{2}}$