《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

10. 如图，长方形纸片$MPQN$的宽$MP$为10cm，三角板$ABC$中，$AC = 8cm$，$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$.将三角板的顶点$C$固定在纸片的边$MN$上，边$AB$与纸片的边$PQ$交于点$D$，则$BD$的最大值是（ ）


A.$(12 - 2\sqrt{13})$cm
B.4cm
C.$(16 - \frac{20\sqrt{3}}{3})$cm
D.5cm

答案：
10. A　[解析]勾股定理+矩形的性质+特殊角的三角函数
[第1步，根据特殊角的三角函数与勾股定理表示DT]
如图，连接CD，过点C作CT⊥AB于点T(巧作辅助线:构造直角三角形).在△ABC中，AC = 8cm，∠A = 60°，∠ACB = 90°，
∴AB = $\frac{AC}{cos60°}$ = 16cm，BC = AC·tan60° = 8$\sqrt{3}$cm(易错:因混淆三角函数的定义导致计算错误).
∴AT = AC·cos60° = 4cm.
∴CT = AT·tan60° = 4$\sqrt{3}$cm.
∴AD = 4 + DT，DT = $\sqrt{CD² - (4\sqrt{3})²}$ = $\sqrt{CD² - 48}$cm.
[第2步，根据垂线段最短求DT的最小值，从而可得BD的最大值]
∵要使BD最大，则AD最小，即DT最小，
∴CD最小.当CD⊥PQ时，CD最小(关键:垂线段最短)，此时四边形MPDC为矩形，
∴CDmin = MP = 10cm.
∴DTmin = $\sqrt{CDmin² - 48}$ = $\sqrt{52}$ = 2$\sqrt{13}$cm.
∴ADmin = (4 + 2$\sqrt{13}$)cm.
∴BDmax = 16 - 4 - 2$\sqrt{13}$ = (12 - 2$\sqrt{13}$)cm.故选A.
　　　　　　　

11. 因式分解：$x^{2} - 9=$(x + 3)(x - 3).

答案： 11. (x + 3)(x - 3)　[考点]因式分解

12. 若分式$\frac{3 - x}{x - 1}$的值为1，则$x =$2.

答案： 12. 2　[解析]解分式方程　由题知，$\frac{3 - x}{x - 1}$ = 1，去分母得3 - x = x - 1，移项，合并同类项得 - 2x = - 4，解得x = 2.检验:当x = 2时，x - 1 ≠ 0，故原分式方程的解为x = 2.

13. 一个不透明的布袋中有1个红球和2个白球，它们除颜色外其他都无差别，若从布袋里随机摸出1个球，则摸到白球的概率为$\frac{2}{3}$.

答案： 13. $\frac{2}{3}$　[考点]概率公式

14. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 56^{\circ}$，点$D$在边$BC$上，$\angle BAD = 18^{\circ}$，将$AD$绕点$A$逆时针旋转$56^{\circ}$得到$AE$，连接$CE$，则$\angle AEC$的度数为100°.

答案： 14. 100°　[解析]旋转的性质+全等三角形的判定与性质
∵AB = AC，∠BAC = 56°，
∴∠ABC = 62°.
∵∠BAD = 18°，
∴∠ADB = 100°.
∵将AD绕点A逆时针旋转56°得到AE，
∴AD = AE，∠DAE = 56°(提示:旋转前后对应边相等).
∴∠BAD = ∠CAE.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴∠AEC = ∠ADB = 100°.

15. 已知一次函数$y = kx + 2$（$k$是常数，$k\neq0$）的图象过点$(1,m)$与$(2,n)$，若$m ＞ 0$，$n ＜ 0$，则$k$的取值范围是-2＜k＜-1.

答案： 15. - 2 ＜ k ＜ - 1　[解析]一次函数图象上点的坐标特征+解一元一次不等式组　由题知，$\begin{cases}m = k + 2 ＞ 0 \\n = 2k + 2 ＜ 0\end{cases}$，解得 - 2 ＜ k ＜ - 1.

16. 如图，$\odot O$的半径为4，以弦$AB$为边作$\triangle ABC$，使$\angle ACB = 90^{\circ}$，$M$为$AB$中点，连接$OM$，$OC$.若$\angle MOC = 90^{\circ}$，$OC = 2$，则$AB$的长为________.

答案：
16. 2$\sqrt{10}$　[解析]勾股定理+直角三角形的性质+垂径定理
[第1步，由直角三角形的性质得MC = AM]
如图，连接OA，MC(巧作辅助线:构造半径与斜边中线，在直角三角形中求线段长).在Rt△ACB中，∠ACB = 90°，
∵M为AB的中点，
∴MC = $\frac{1}{2}$AB = AM(技巧:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).
[第2步，根据勾股定理表示出MC²]
又
∵M为AB中点，
∴OM⊥AB.
∴AM² = OA² - OM² = 16 - OM².
∴MC² = AM² = 16 - OM².
[第3步，根据勾股定理得OM²，从而可得AM，AB]
在Rt△MOC中，∠MOC = 90°，OC = 2，
∴MC² = OM² + OC²，即16 - OM² = OM² + 4，解得OM² = 6.
∴AM = $\sqrt{16 - OM²}$ = $\sqrt{10}$.
∴AB = 2AM = 2$\sqrt{10}$.
　　　　　　　　　

17. （本小题满分8分）计算：$(\pi - 2025)^{0}+\sqrt{8}+|1 - \sqrt{2}|$.

答案： 17. 零指数幂+二次根式的化简+绝对值运算
解:原式 = 1 + 2$\sqrt{2}$ + $\sqrt{2}$ - 1 = 3$\sqrt{2}$.

18. （本小题满分8分）解二元一次方程组：$\begin{cases}2x + y = 3,\\3x - y = 7.\end{cases}$

答案： 18. 解二元一次方程组
解:$\begin{cases}2x + y = 3 ①\\3x - y = 7 ②\end{cases}$
由① + ②得，5x = 10，解得x = 2.
将x = 2代入①得，2×2 + y = 3，解得y = - 1.
∴方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\y = - 1\end{cases}$.

19. （本小题满分8分）如图，在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$交于点$O$，$E$为$CD$的中点，连接$OE$.
（1）求证：$OE=\frac{1}{2}BC$.
（2）若$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\sin\angle ACB=\frac{3}{5}$，$AB = 2$，求$OE$的长.

答案： 19. 平行四边形的性质+三角形中位线定理+解直角三角形
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB = OD.又
∵E为CD的中点，
∴OE = $\frac{1}{2}$BC(提示:三角形中位线定理).
(2)
∵∠BAC = 90°，sin∠ACB = $\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AB}{BC}$ = $\frac{3}{5}$.
∵AB = 2，
∴BC = $\frac{10}{3}$.
∴OE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{5}{3}$.