《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

21. （本小题满分8分）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：$(a\pm b)^{2} = a^{2}\pm 2ab + b^{2}$近似计算算术平方根的方法.
例如求$\sqrt{67}$的近似值.
因为$64 ＜ 67 ＜ 81$，
所以$8 ＜ \sqrt{67} ＜ 9$，
则$\sqrt{67}$可以设成以下两种形式：
①$\sqrt{67} = 8 + s$，其中$0 ＜ s ＜ 1$；
②$\sqrt{67} = 9 - t$，其中$0 ＜ t ＜ 1$.
小明以①的形式求$\sqrt{67}$的近似值的过程如图.

【尝试探究】
（1）请用②的形式求$\sqrt{67}$的近似值（结果保留2位小数）.
【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高，请说明理由.

答案： 21.完全平方公式+无理数的估计
解:[尝试探究]
(1)因为$\sqrt{67}$=9−t,所以67=(9−t)²,即67=81−18t+t².因为t²比较小，将t²忽略不计，所以67≈81−18t,即18t≈81−67.得t≈$\frac{81−67}{18}$=$\frac{7}{9}$,故$\sqrt{67}$≈9−$\frac{7}{9}$≈8.22.　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
[比较分析]
(2)①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高，(6分)
理由如下：因为$8.19^{2} \approx 67.08$,$8.22^{2} \approx 67.57$,又因为$67.57＞67.08＞67$,所以选择①的形式精确度更高.　　　　　　　　　　　(8分)

22. （本小题满分10分）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$O$在边$AB$上，以点$O$为圆心，$OB$长为半径的半圆，交$BC$于点$D$，与$AC$相切于点$E$，连接$OD$，$OE$.
（1）求证：$OD\perp OE$.
（2）若$AB = BC$，$OB = \sqrt{3}$，求四边形$ODCE$的面积.

答案：
22.切线的性质+等边三角形的判定与性质
解:
(1)证明:如图，因为AB=AC，所以∠B=∠C.因为OB=OD,所以∠B=∠ODB.所以∠C=∠ODB.所以OD//AC.因为AC是切线，所以OE⊥AC.所以OD⊥OE.　　　　　　　　　　　　　　　　(3分)
(2)因为BC=AB=AC,所以△ABC是等边三角形.所以∠A=∠B=∠C=60°.因为OD=OE=OB=$\sqrt{3}$,所以AE=1,OA=2.所以AB=BC=AC=2+$\sqrt{3}$.所以CE=1+$\sqrt{3}$.　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)
　　　　　　　
所以S四边形ODCE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+3(提示:四边形ODCE是直角梯形，应用梯形的面积公式直接计算即可).　　　　　　　　(10分)

23. （本小题满分10分）已知抛物线$y = x^{2} - ax + 5$（$a$为常数）经过点$(1,0)$.
（1）求$a$的值.
（2）过点$A(0,t)$与$x$轴平行的直线交抛物线于$B$，$C$两点，且点$B$为线段$AC$的中点，求$t$的值.
（3）设$m ＜ 3 ＜ n$，抛物线的一段$y = x^{2} - ax + 5$（$m\leqslant x\leqslant n$）夹在两条均与$x$轴平行的直线$l_{1}$，$l_{2}$之间.若直线$l_{1}$，$l_{2}$之间的距离为16，求$n - m$的最大值.

答案：
23.二次函数的图象与性质+解一元二次方程
解:
(1)把点(1,0)的坐标代入得，1−a+5=0，解得a=6.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3分)
(2)由
(1)知二次函数表达式为y=x²−6x+5，对称轴为直线x=3.因为点A坐标(0,t)，且点B为线段AC的中点，设点B(s,t),则点C(2s,t)（提示:中点坐标公式）.
如图1,由对称性可得:$\frac{s + 2s}{2}$=3,解得s=2,
　　　　　　　　　　
当s=2时,t=−3.
(3)如图2,因为y=x²−6x+5=(x−3)²−4,
　　　　　　　　　
所以抛物线的顶点坐标为(3，−4).因为抛物线的一段y=x²−ax+5(m≤x≤n)夹在平行线l1,l2之间,且m＜3＜n,所以下方的平行线不能在顶点(3，−4)上方.因为直线l1,l2之间的距离为16,所以要使n−m最大,则l1经过顶点(3,−4),此时l2为直线y=12.　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
所以当y=12时,(x−3)²−4=12.解得:x1=−1,x2=7,所以n−m最大值为7−(−1)=8.　　　　　　　　(10分)

24. （本小题满分12分）在菱形$ABCD$中，$AB = 5$，$AC = 8$.
（1）如图1，求$\sin\angle BAC$的值.
（2）如图2，$E$是$AD$延长线上的一点，连接$BE$，作$\triangle FBE$与$\triangle ABE$关于直线$BE$对称，$EF$交射线$AC$于点$P$，连接$BP$.
①当$EF\perp AC$时，求$AE$的长.
②求$PA - PB$的最小值.

答案：
24.菱形的性质+锐角三角函数+勾股定理+轴对称图形的性质
解:
(1)如图1,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,所以OA=OC=4,且BD⊥AC.在Rt△AOB中,由勾股定理得:OB=3,所以sin∠BAC=$\frac{3}{5}$.　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
　　　　　　　　
(2)①如图2,连接BD交AC于点O,
　　　　　　　
因为EF⊥AC,BD⊥AC,所以EF//BD.所以∠DBE=∠BEF.因为△FBE与△ABE关于直线BE对称,所以∠DEB=∠BEF.所以∠DBE=∠DEB.所以DE=DB=6.所以AE=5+6=11.　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
②解法一(长度等价法):
[第1步，连接BD交AC于点O,根据勾股定理与平方差公式得PA−PB=4−$\frac{9}{PB+PO}$，将问题转化为求PB+PO的最小值,结合勾股定理可得只需BP最小]
如图3，连接BD交AC于点O，

则PB²−PO²=BO²=9,所以PA−PB=AO+PO−PB=4−(PB−PO)=4−$\frac{9}{PB+PO}$.所以只需PB+PO最小.因为PO=$\sqrt{PB²−9}$,所以只需PB最小,此时PO也最小(难点:根据等量关系，对线段差的最小值问题进行等价转化，将两个变量问题等价转化为一个变量问题).　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
[第2步，转化BP的最小值为点B到AD的距离，从而可得BP的最小值，进而可得PA−PB的最小值]
而BP最小值即为点B到EF的距离(如图3),即点B到AD的距离.因为点B到AD的距离是$\frac{24}{5}$,所以BP的最小值为$\frac{24}{5}$(经检验BP=$\frac{24}{5}$符合题意).此时PO=$\sqrt{PB²−9}$=$\frac{3\sqrt{39}}{5}$.所以PA−PB=4−$\frac{9}{\frac{24}{5}+\frac{3\sqrt{39}}{5}}$=4−$\frac{45}{24+3\sqrt{39}}$=4−$\frac{15}{8+\sqrt{39}}$=4−$\frac{15(8−\sqrt{39})}{(8+\sqrt{39})(8−\sqrt{39})}$=4−$\frac{15(8−\sqrt{39})}{64−39}$=4−$\frac{15(8−\sqrt{39})}{25}$=4−$\frac{3(8−\sqrt{39})}{5}$=4−$\frac{24−3\sqrt{39}}{5}$=$\frac{20−24+3\sqrt{39}}{5}$=$\frac{3\sqrt{39}−4}{5}$.　　　　　　　　(12分)
解法二(角度等价法):
[第1步，连接BD交AC于点O,在AP上截取PH=PB，连接BH,则有AP−PB=AP−PH=AH,问题等价于∠OHB最小，结合等边对等角，只需∠BPH最大，进而转化为只需BP最小]
如图4,连接BD交AC于点O,在AP上截取PH=PB,连接BH(巧作辅助线:连接对角线，由菱形的性质得垂直关系，截取相等线段，构造等价转化条件)，

所以AP−PB=AP−PH=AH,则只需AH最小.因为OH=OA−AH=4−AH,即只需OH最大，故只需∠OHB最小.因为PH=PB,所以只需∠BPH最大.因为OB=3,∠BOP=90°,所以只需BP最小.　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
[第2步，转化BP的最小值为点B到AD的距离，由此可得PO,PA,进而可得PA−PB的最小值]
而BP最小值即为点B到EF的距离(如图4),即点B到AD的距离.因为点B到AD的距离是$\frac{24}{5}$,所以BP的最小值为$\frac{24}{5}$(经检验BP=$\frac{24}{5}$符合题意)，此时PO=$\sqrt{PB²−9}$=$\frac{3\sqrt{39}}{5}$.所以PA=4+$\frac{3\sqrt{39}}{5}$.所以PA−PB=4+$\frac{3\sqrt{39}}{5}$−$\frac{24}{5}$=$\frac{20−24+3\sqrt{39}}{5}$=$\frac{3\sqrt{39}−4}{5}$.　　　　　　　　(12分)
方法技巧
线段最值问题的应用背景
(1)线段公理——两点之间，线段最短.
(2)对称的性质——关于一条直线对称的两个图形全等，对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线.
(3)三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边.
(4)垂线段最短.
(5)过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于圆心与该点连线的弦.
（解析人：杜伟）