《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

11. 计算：$ \sqrt{25} = $5.

答案： 11. 5【考点】算术平方根

12. 在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的8个球，其中有3个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是$\frac{3}{8}$.

答案： 12 $\frac{3}{8}$【考点】概率公式

13. 若扇形的圆心角为 $ 60^{\circ} $，半径为3，则它的弧长为$\pi$.

答案： 13 $\pi$(未约分给2分)【解析】弧长公式 $\because$扇形的圆心角为$60°$，半径为3，$\therefore$此扇形的弧长是$\frac{60\pi×3}{180}=\pi$。

14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ ABCD $ 的对角线交点为坐标原点 $ O $，点 $ A $，$ C $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $，$ D $ 在 $ y $ 轴上，若正方形的边长为2，则顶点 $ A $ 的坐标为$(-\sqrt{2},0)$.

答案： 14 $(-\sqrt{2},0)$(只写对横坐标给1分)【解析】正方形的性质 + 平面直角坐标系中点的坐标特征 $\because$四边形ABCD是正方形，且边长为2，对角线的交点为坐标原点，$\therefore AB = 2$，$OA = OB$，$OA\perp OB$。在$\mathrm{Rt}\triangle OAB$中，$OA = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2}×2=\sqrt{2}$。$\because$点A在x轴负半轴上，$\therefore$点A的坐标为$(-\sqrt{2},0)$。

15. 如图，$ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC = 5 $，$ BC = 6 $，$ D $ 为 $ BC $ 上任意一点，连接 $ AD $，作点 $ B $ 关于 $ AD $ 的对称点 $ E $，若 $ DE // AC $，则 $ AD $ 的长为______.

答案：
15. $2\sqrt{5}$【解析】轴对称的性质 + 等腰三角形的判定与性质 + 勾股定理 如图，过点A作$AF\perp BC$，垂足为F(巧作辅助线：作垂线，构造出直角三角形，进而利用勾股定理求解)。
$\because AB = AC = 5$，$BC = 6$，$\therefore BF = CF = \frac{1}{2}×6 = 3$。在$\mathrm{Rt}\triangle ABF$中，$AF = \sqrt{AB^2 - BF^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。由对称得$\angle AED = \angle B$，$\angle EAD = \angle BAD$。$\because DE// AC$，$\therefore \angle AED = \angle CAE$。$\therefore \angle CAE = \angle B$。$\because \angle ADC = \angle B + \angle BAD$，$\angle CAD = \angle CAE + \angle EAD$，$\therefore \angle ADC = \angle CAD$。$\therefore CD = CA = 5$。
$\because BD = BC - CD$，$\therefore BD = 6 - 5 = 1$。$\therefore DF = BF - BD = 3 - 1 = 2$。在$\mathrm{Rt}\triangle ADF$中，$AD = \sqrt{DF^2 + AF^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=2\sqrt{5}$。

16. 当 $ n \leq x \leq n + 1 $ 时，若二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的最大值为2，则 $ n $ 的值为$2 - \sqrt{3}$或$\sqrt{3} + 1$.

答案： 16. $2 - \sqrt{3}$或$\sqrt{3} + 1$(写对1个答案给2分)【解析】二次函数的图象与性质
解法一：
[第1步，配方后根据二次函数的性质得到最值]
$\because y = x^2 - 4x + 3=(x - 2)^2 - 1$，$\therefore$抛物线开口向上，当$x = 2$时，$y$取最小值 - 1。$\therefore$抛物线上的点离对称轴越远函数值越大。$\therefore$当$x = n$或$x = n + 1$时，$y$取最大值。
[第2步，分类讨论求$n$的值]
①当$x = n$时，$y$取最大值，此时$\frac{2n + 1}{2}\leq2$，即$n\leq\frac{3}{2}$，又$\because$此时$y$的最大值为$n^2 - 4n + 3 = 2$，$\therefore n = 2 - \sqrt{3}$或$n = 2 + \sqrt{3}$(舍去)。②当$x = n + 1$时，$y$取最大值，此时$\frac{2n + 1}{2}＞2$，即$n＞\frac{3}{2}$。
又$\because$此时$y$的最大值为$(n + 1)^2 - 4(n + 1) + 3 = n^2 - 2n = 2$，
$\therefore n = \sqrt{3} + 1$或$n = 1 - \sqrt{3}$(舍去)。综上，$n = 2 - \sqrt{3}$或$n = \sqrt{3} + 1$。
解法二：
[第1步，根据二次函数的图象与性质得$y$取最大值时$x$的值]
$\because y = x^2 - 4x + 3$，$\therefore$二次函数图象的对称轴为$x = 2$，开口向上。$\therefore$当$x = 2$时，$y$取最小值。$\because n\leq x\leq n + 1$，$\therefore$当$x = n$或$x = n + 1$时，$y$取最大值。
[第2步，计算取值范围端点处的函数值]
当$x = n$时，$y_1 = n^2 - 4n + 3$；当$x = n + 1$时，$y_2=(n + 1)^2 - 4(n + 1) + 3 = n^2 - 2n$。
[第3步，分情况讨论]
若$y_1\geq y_2$，即$n^2 - 4n + 3\geq n^2 - 2n$，解得$n\leq\frac{3}{2}$。此时$y_1 = n^2 - 4n + 3 = 2$，即$n^2 - 4n + 1 = 0$，解得$n = 2\pm\sqrt{3}$。又$\because n\leq\frac{3}{2}$，$\therefore n = 2 - \sqrt{3}$。若$y_1＜y_2$，即$n^2 - 4n + 3＜n^2 - 2n$，解得$n＞\frac{3}{2}$。此时$y_2 = n^2 - 2n = 2$，即$n^2 - 2n - 2 = 0$，解得$n = 1\pm\sqrt{3}$。又$\because n＞\frac{3}{2}$，$\therefore n = \sqrt{3} + 1$(易错：在分情况讨论时，容易遗漏某些情况，比如对称轴在自变量取值范围内时，需要考虑在两个端点处的取值情况)。

17. （本小题满分8分）计算：$ \left( -\frac{1}{3} \right)^{-2} - (-2) - | -4 | $.

答案： 17. 实数的运算
解：原式$=9 + 2 - 4$
$=7$。

18. （本小题满分8分）先化简，再求值：$ \frac{x^{2} + 4}{x^{2} - 3x} + \frac{6x - 5}{3x - x^{2}} $，其中 $ x = -2 $.

答案： 18. 分式的化简求值
解：原式$=\frac{x^2 + 4}{x^2 - 3x}-\frac{6x - 5}{x^2 - 3x}$
$=\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 3x}$
$=\frac{(x - 3)^2}{x(x - 3)}$
$=\frac{x - 3}{x}$。
当$x = - 2$时，$\frac{x - 3}{x}=\frac{5}{2}$。

19. （本小题满分8分）如图1，$ \angle B = 30^{\circ} $，$ AB = 8 $. 在图1中，用无刻度的直尺和圆规作 $ \triangle ABC $，使 $ AC = a $.
（1）若线段 $ a $ 长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形.
（2）若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的 $ a $ 的值.

答案：
19. 尺规作图
解：
(1)如图，$\triangle ABC_1$和$\triangle ABC_2$为所求作的图形。
(画出一个给3分，画出两个给5分，结论1分)
(2)$a = 4$(满足$a = 4$或$a\geq8$的数即可)。

易错警示
尺规作图的注意事项
(1)尺规作图要求只能用无刻度的直尺和圆规来画图，在操作过程中是不允许度量的。
(2)尺规作图一般不要求写步骤，但每一步的作图痕迹都要保留，痕迹要清晰。考生在用尺规作出图形后，可用考试专用铅笔再描清晰，避免因答题卡扫描不清晰而失分。
(3)解答中除了作图之外，最后的答案应指出题目所要求作的是哪条线段、哪个角、哪个点或哪个图形。