《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

22. （本小题满分 10 分）小明爸爸外出散步，从家出发走向离家 1 200 米的报亭，走了 15 分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来. 小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）. 小明爸爸又走了 5 分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报 10 分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜. 戴上眼镜后继续看报 10 分钟，然后又用了 40 分钟返回到家里. 而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行 10 分钟到达离家 $m$ 米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有 $n$ 米处时追上爸爸后一起回到家里. 已知小明和爸爸离开家的路程 $s$（米）与各自的步行时间 $t$（分）之间的函数图象如图所示.
（1）求 $a$ 和 $m$ 的值.
（2）求 $b$ 和 $n$ 的值.
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程 $s$（米）关于步行时间 $t$（分）的函数表达式.

答案： 22. 一次函数的应用
解:
(1) 由题意知 a = 15.
∴ 小明的步行速度为 1200÷(30 - 15) = 80 米/分.
∴ 80×10 = 800，1200 + 800 = 2000（提示: 注意从图象上获取信息）.
∴ m = 2000.
(2) 由题意知小明爸爸回家的步行速度为 1200÷(80 - 40) = 30 米/分.
设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为 t 分钟，则有 80t - 30t = 2000 - 1200（提示: 利用距离作为等量关系），
∴ t = 16.
∴ b = 40 + 16 = 56，n = 1200 - 30×16 = 720.
(3) 小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，设小明离开家的路程 s(米) 关于步行时间 t(分) 的函数表达式为 s = kt + c，
将(40, 2000)，(56, 720) 的坐标代入，有$\begin{cases}2000 = 40k + c \\720 = 56k + c \end{cases}$（方法: 运用待定系数法求函数表达式），
解得$\begin{cases} k = -80 \\ c = 5200 \end{cases}$.
∴ s = -80t + 5200(40 ≤ t ≤ 56).

23. （本小题满分 10 分）如图，二次函数 $y = -\dfrac{3}{4}x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，其对称轴是直线 $x = 1$，点 $A$ 的坐标为$( - 1,0)$.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）若 $n ＞ 0$，当 $n \leq x \leq n + 2$ 时，求二次函数 $y = -\dfrac{3}{4}x^{2} + bx + c$ 的最小值（用含有 $n$ 的代数式表示）.
（3）当 $t \leq x \leq t + 1$ 时，若二次函数的最大值比最小值大 2，求 $t$ 的值.

答案：
23. 二次函数的图象及其性质
解:
(1)
∵ y = -$\frac{3}{4}$x² + $\frac{3}{2}$x + c 的图象的对称轴是直线 x = 1，$-\frac{\frac{3}{2}}{2×(-\frac{3}{4})}=1$，
∴ b = $\frac{3}{2}$.
∵ A(-1, 0) 在其图象上，
∴ 0 = -$\frac{3}{4}$×(-1)² + $\frac{3}{2}$×(-1) + c，
∴ c = $\frac{9}{4}$.
∴ 此二次函数的表达式为 y = -$\frac{3}{4}$x² + $\frac{3}{2}$x + $\frac{9}{4}$.
(2) 若 n ＞ 0，当 n ≤ x ≤ n + 2 时，y = -$\frac{3}{4}$x² + $\frac{3}{2}$x + $\frac{9}{4}$ 的最小值在 x = n + 2 时取到（提示: 注意结合对称轴判断函数的增减性）.
∴ y 的最小值为 -$\frac{3}{4}$(n + 2)² + $\frac{3}{2}$(n + 2) + $\frac{9}{4}$.
(3) 当 t ＜ 0 时，
∵ t ≤ x ≤ t + 1，
∴ y 的最大值为 -$\frac{3}{4}$(t + 1)² + $\frac{3}{2}$(t + 1) + $\frac{9}{4}$，y 的最小值为 -$\frac{3}{4}$t² + $\frac{3}{2}$t + $\frac{9}{4}$（关键: 根据 x 的取值范围确定最大值和最小值）.
∵ 二次函数的最大值比最小值大 2，
∴ -$\frac{3}{4}$(t + 1)² + $\frac{3}{2}$(t + 1) + $\frac{9}{4}$ = -$\frac{3}{4}$t² + $\frac{3}{2}$t + $\frac{9}{4}$ + 2，
∴ t = -$\frac{5}{6}$.
当 t ＞ 1 时，
∵ t ≤ x ≤ t + 1，
∴ y 的最小值为 -$\frac{3}{4}$(t + 1)² + $\frac{3}{2}$(t + 1) + $\frac{9}{4}$，y 的最大值为 -$\frac{3}{4}$t² + $\frac{3}{2}$t + $\frac{9}{4}$.
∵ 二次函数的最大值比最小值大 2，
∴ -$\frac{3}{4}$(t + 1)² + $\frac{3}{2}$(t + 1) + $\frac{9}{4}$ + 2 = -$\frac{3}{4}$t² + $\frac{3}{2}$t + $\frac{9}{4}$，
∴ t = $\frac{11}{6}$.
当 0 ≤ t ≤ 1 时，
∵ t ≤ x ≤ t + 1，
∴ y 的最大值为 -$\frac{3}{4}$×1² + $\frac{3}{2}$×1 + $\frac{9}{4}$ = 3.
若 3 - (-$\frac{3}{4}$t² + $\frac{3}{2}$t + $\frac{9}{4}$) = 2，解得 t = $\frac{3 ± 2\sqrt{6}}{3}$，不符合题意；
若 3 - [-$\frac{3}{4}$(t + 1)² + $\frac{3}{2}$(t + 1) + $\frac{9}{4}$] = 2，解得 t = ±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，不符合题意.
∴ t = -$\frac{5}{6}$ 或 t = $\frac{11}{6}$.
难点突破
根据自变量的取值范围确定二次函数的最值
根据二次函数 y = ax² + bx + c(a ≠ 0) 自变量的范围，可以分为两种情况:
(1) 自变量取全体实数时，二次函数在顶点处取到最值，根据 a 的正负，即函数图象开口方向判断函数取最大值还是最小值.
如图1，当 a ＞ 0 时，函数有最小值，y 的最小值为 $\frac{4ac - b²}{4a}$，无最大值.
　　　　　　　
如图2，当 a ＜ 0 时，函数有最大值，y 的最大值为 $\frac{4ac - b²}{4a}$，无最小值.
　　　　　　　
(2) 自变量给定范围时，即若 x₁ ≤ x ≤ x₂ 时，此时考虑最值，则需要分类讨论对称轴在自变量范围内还是自变量范围外.
① 当对称轴 x = -$\frac{b}{2a}$ 在自变量范围内，即 x₁ ≤ -$\frac{b}{2a}$ ≤ x₂ 时，当 a ＞ 0 时，最小值为 $\frac{4ac - b²}{4a}$，最大值在端点处取到，具体是在 x = x₁ 时取到还是在 x = x₂ 时取到，可根据点到对称轴的距离来确定. 若 | -$\frac{b}{2a}$ - x₁ | ≥ | -$\frac{b}{2a}$ - x₂ |,则在 x = x₁ 时取到，即最大值为 ax₁² + bx₁ + c，如图3.
　　　　　　
若 | -$\frac{b}{2a}$ - x₁ | ≤ | -$\frac{b}{2a}$ - x₂ |，则在 x = x₂ 时取到，即最大值为 ax₂² + bx₂ + c，如图4.
　　　　　　
当 a ＜ 0 时，最大值为 $\frac{4ac - b²}{4a}$，最小值在端点处取到，同样可根据 | -$\frac{b}{2a}$ - x₁ | 与 | -$\frac{b}{2a}$ - x₂ | 的大小判断最小值.
若 | -$\frac{b}{2a}$ - x₁ | ≥ | -$\frac{b}{2a}$ - x₂ |，则最小值为 ax₁² + bx₁ + c，如图5.
　　　　　　
若 | -$\frac{b}{2a}$ - x₁ | ≤ | -$\frac{b}{2a}$ - x₂ |，则最小值为 ax₂² + bx₂ + c，如图6.
　　　　　　
② 当对称轴 x = -$\frac{b}{2a}$ 在自变量范围外时，又分成两种情况.
当对称轴在自变量范围左侧，即 -$\frac{b}{2a}$ ≤ x₁ 时，若 a ＞ 0，函数在自变量范围内呈递增趋势，则当 x = x₁ 时，函数值最小，最小值为 ax₁² + bx₁ + c. 当 x = x₂ 时，函数值最大，此时最大值为 ax₂² + bx₂ + c，如图7.
　　　　　　
若 a ＜ 0，函数在自变量范围内呈递减趋势，则当 x = x₁ 时，函数值最大，此时最大值为 ax₁² + bx₁ + c，当 x = x₂ 时，函数值最小，最小值为 ax₂² + bx₂ + c，如图8.
　　　　　　
当对称轴在自变量范围右侧，即 -$\frac{b}{2a}$ ≥ x₂ 时，若 a ＞ 0，函数在自变量范围内呈递减趋势，则当 x = x₁ 时，函数值最大，此时最大值为 ax₁² + bx₁ + c，当 x = x₂ 时，函数值最小，最小值为 ax₂² + bx₂ + c，如图9.

若 a ＜ 0，函数在自变量范围内呈递增趋势，则当 x = x₁ 时，函数值最小，最小值为 ax₁² + bx₁ + c，当 x = x₂ 时，函数值最大，最大值为 ax₂² + bx₂ + c，如图10.