《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BC=10$，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，$CD=BE=9$，记$BD$长为$x$，$CE$长为$y$，$x＞y$.当$x$，$y$的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）


A.$xy$
B.$x+y$
C.$x-y$
D.$x^{2}+y^{2}$

答案：
10. A 【解析】等腰三角形的性质+全等三角形的判定与性质+勾股定理
[第1步，证明$\triangle FCB \cong \triangle DBC$得$BF$的长]
在$CA$上截取$CF = BD$（巧作辅助线：截取线段构造全等三角形），过点$B$作$BH \perp AC$于点$H$，如图所示.
∵$BD$长为$x$，
∴$CF = BD = x$.
∵$CE = y$，
∴$EF = CF - CE = x - y$.
∵$AB = AC$，$\begin{cases} CF = BD, \\ \angle ACB = \angle ABC. \end{cases}$
在$\triangle FCB$和$\triangle DBC$中，$\begin{cases} \angle ACB = \angle ABC, \\ CB = BC, \end{cases}$
∴$\triangle FCB \cong \triangle DBC(SAS)$.
∴$BF = CD = BE = 9$.
[第2步，由等腰三角形“三线合一”的性质得$EH = FH = \frac{x - y}{2}$]
∵$BH \perp AC$，
∴$EH = FH = \frac{1}{2}EF = \frac{x - y}{2}$
[第3步，利用勾股定理得到$x,y$的关系]
在$Rt \triangle BHF$和$Rt \triangle BHC$中，由勾股定理得$BH^2 = BF^2 - FH^2 = BC^2 - CH^2$，
∴$9^2 - (\frac{x - y}{2})^2 = 10^2 - (y + \frac{x - y}{2})^2$，整理得$xy = 19$.
∴当$x,y$的值发生变化时，代数式$xy$的值不变，始终等于$19$. 故选A.

方法技巧
构造全等三角形常用的辅助线
(1)巧用“公共边”构造全等三角形：条件往往给出两组边相等，连接公共边即可得到第三组边相等，从而利用“SSS”证全等.
(2)巧用“截长补短法”构造全等三角形：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等.
(3)巧用“倍长中线法”构造全等三角形：将中线延长一倍，得到两线段相等，从而判定三角形全等.
(4)巧用“角平分线”构造全等三角形：在处理角平分线问题时，常常要通过延长线段或截取线段，或者过角平分线上的点作角两边的垂线段，使两个角所在的三角形全等.

11. 分解因式：$x^{2}-3x=$$x(x - 3)$.

答案： 11. $x(x - 3)$ 【考点】因式分解

12. 一个不透明的盒子里装有5个只有颜色不同的球，其中有2个红球、2个白球和1个绿球.现从盒子里随机摸出一个球，则摸出红球的概率为$\frac{2}{5}$.

答案： 12. $\frac{2}{5}$ 【解析】概率公式
∵有2个红球、2个白球和1个绿球，一共是5个，
∴从盒子里随机摸出一个球，则摸出红球的概率为$\frac{2}{5}$.

13. 若$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，则$\frac{a+b}{b}$的值为$\frac{3}{2}$.

答案： 13. $\frac{3}{2}$ 【解析】比例
∵$\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a} = 2$，
∴$\frac{b}{2} + b = \frac{\frac{b}{2} + b}{b} = \frac{\frac{3}{2}b}{b} = \frac{3}{2}$.

14. 如图，$AC$，$BD$为矩形$ABCD$的对角线，$DE\perp AC$于点$E$，$∠BDE=20^{\circ}$，则$∠ACB$的度数为______.

答案：
14. $35°$ 【解析】矩形的性质+三角形内角和定理+三角形外角的性质 如图，设$AC$与$BD$的交点为$O$.
∵$DE \perp AC$，$\angle BDE = 20°$，
∴$\angle BOC = 110°$.
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$OB = OC$.
∴$\angle ACB = \angle OBC = \frac{1}{2} × (180° - \angle BOC) = 35°$.

15. 如图，在边长为4的正方形$ABCD$中，$E$为对角线$BD$上一点.若$\triangle ABE$的外接圆$\odot O$与边$CD$相切，则$\odot O$的半径长为______.

答案：
15. $\frac{5}{2}$ 【解析】切线的性质+正方形的性质+勾股定理 如图，设$CD$与$\odot O$相切于点$F$，连接$FO$并延长交$AB$于点$N$，连接$OA$.
∵$\triangle ABE$的外接圆$\odot O$与边$CD$相切，
∴$OF \perp CD$.
∵四边形$ABCD$为正方形，
∴$\angle ADC = \angle BAD = 90°$.
∴四边形$ANFD$为矩形，
∴$NF = AD = 4$，$NF \perp AB$.
∴$AN = NB = 2$. 在$Rt \triangle OAN$中，$OA^2 = AN^2 + ON^2$，即$OA^2 = 2^2 + (4 - OA)^2$，解得$OA = \frac{5}{2}$.

16. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ABC=45^{\circ}$，$O$为对角线$BD$的中点，$E$为$BC$上一点，将$□ ABCD$沿$OE$所在的直线折叠，使点$B$和点$D$重合.若$AB=AE$，$OF=1$，则$AB$的长为______.

答案：
16. $3 + \sqrt{3}$ 【解析】平行四边形的性质+翻折变换+平行线分线段成比例定理
[第1步，证明$\angle EFO = 60°$]
如图，过点$A$作$AH \perp BC$于点$H$，过点$E$作$EM \perp AD$于点$M$（巧作辅助线：构造矩形），连接$DE$，则四边形$AHEM$是矩形.
∴$AH = EM$.
∵$AB = AE$，
∴$\angle ABE = \angle AEB = 45°$.
∴$\angle BAE = 90°$.
∵$AB = AE$，$AH \perp BE$，
∴$BH = EH$.
∴$AH = BH = HE = \frac{1}{2}BE$.
∵$ED = EB$，
∴$ED = 2AH = 2EM$.
∵$EM \perp AD$，
∴$\angle EDM = 30°$.
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD // BC$.
∴$\angle CED = \angle ADE = 30°$.
∵$EB = ED$，
∴$\angle EBD = \angle EDB$.
∵$\angle DEC = \angle EBD + \angle EDB$，
∴$\angle EBD = \angle EDB = 15°$.
∴$\angle EFO = \angle FEB + \angle EBO = 60°$.
[第2步，求$EF$]
∵$EO \perp BD$，$\angle FEO = 30°$，
∴$EF = 2OF = 2$.
[第3步，利用平行线分线段成比例定理求解$AF$，进而得出$AB$]
设$AH = HE = EM = a$，则$BE = 2a$，$DM = \sqrt{3}a$.
∵$AD // BE$，
∴$\frac{AF}{EF} = \frac{AD}{BE} = \frac{a + \sqrt{3}a}{2a}$.
∴$AF = 1 + \sqrt{3}$.
∴$AB = AE = AF + EF = 1 + \sqrt{3} + 2 = 3 + \sqrt{3}$.

17. （本小题满分8分）计算：$|-2|-\sqrt{16}+(\frac{1}{3})^{-1}$.

答案： 17. 实数的运算
解：原式$= 2 - 4 + 3$
$= 1$. (6分)
$= 1$. (8分)

18. （本小题满分8分）解方程组：$\begin{cases}3x-2y=9,\\x-y=4.\end{cases}$

答案： 18. 解二元一次方程组
解：$\begin{cases} 3x - 2y = 9, ① \\ x - y = 4. ② \end{cases}$
由②，得$x = y + 4$，③
把③代入①，得$3(y + 4) - 2y = 9$，
解得$y = -3$. (3分)
把$y = -3$代入③，得$x = 1$. (6分)
所以原方程组的解是$\begin{cases} x = 1, \\ y = -3. \end{cases}$ (8分)
方法技巧
用代入法解关于$x,y$的二元一次方程组的一般步骤
(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.
(2)将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.
(3)解这个一元一次方程，求出$x$(或$y$)的值.
(4)将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.

19. （本小题满分8分）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆$AB$的高度，站在教学楼的$C$处测得旗杆底端$B$的俯角为$60^{\circ}$，测得旗杆顶端$A$的仰角为$30^{\circ}$.若旗杆与教学楼的距离$CD=6$米，求旗杆$AB$的高度.（结果保留根号）

答案： 19. 解直角三角形的应用
解：由题意得$CD \perp AB$，$\angle ACD = 30°$，$\angle BCD = 60°$，$CD = 6$.
∵$\tan \angle ACD = \frac{AD}{CD}$，
∴$AD = CD · \tan 30° = 2\sqrt{3}$. (3分)
∵$\tan \angle BCD = \frac{BD}{CD}$，
∴$BD = CD · \tan 60° = 6\sqrt{3}$. (6分)
∴$AB = AD + BD = 8\sqrt{3}$，
即旗杆$AB$的高度为$8\sqrt{3}$米. (8分)