《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

10. 如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,点$E$在边$AD$上,若$\triangle CED$沿直线$CE$折叠,点$D$恰好落在对角线$AC$上的点$F$处,连接$BF$.若$\dfrac{BF}{AB}=k$,则$\dfrac{FO}{CO}=$（ ）


A.$k^{2}$
B.$\dfrac{2k^{2}}{1 + k^{2}}$
C.$\dfrac{k^{2}}{2 + k^{2}}$
D.$\dfrac{k^{2}}{2 - k^{2}}$

答案：
10.D 【解析】勾股定理+菱形的性质+折叠的性质
[第1步，作CM⊥BF，利用菱形的性质及折叠的性质得BM]
如图，过点C作CM⊥BF于点M(巧作辅助线：构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度)，设菱形ABCD的边长为$a$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB = CD = BC = a$，$OB⊥AC$。
∵$\frac{BF}{AB} = k$，
∴$BF = ka$。由折叠知$CF = CD = a$（易错：对折叠性质理解不透彻，可能遗漏$CF = CD$这一关键的等量关系），
∴$CB = CF = a$。
∵$CM⊥BF$，
∴$BM = \frac{1}{2}BF = \frac{1}{2}ka$。
[第2步，运用勾股定理得CM，由等面积法求OB，进而得OF，得解]
由勾股定理得$CM = \sqrt{CB^{2}-BM^{2}} = \frac{a}{2}\sqrt{4 - k^{2}}$，
∵$S_{△CBF} = \frac{1}{2}BF·CM = \frac{1}{2}CF·OB$（提示：等面积法），
∴$OB = \frac{BF·CM}{CF} = \frac{ka}{2}\sqrt{4 - k^{2}}$。在$Rt△BOF$中，由勾股定理得$OF = \sqrt{BF^{2}-OB^{2}} = \frac{k^{2}a}{2}$。
∴$OC = CF - OF = \frac{2 - k^{2}}{2}a$。
∴$\frac{FO}{CO} = \frac{k^{2}}{2 - k^{2}}$。故选D。

11. 因式分解:$a^{2}-ab=$a(a - b).

答案： 11 a(a - b) 【考点】因式分解—提公因式法

12. 若分式$\dfrac{2x - 4}{x + 1}$的值为零,则$x=$2.

答案： 12 2 【考点】分式值为零的条件

13. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$AC$是弦,$CD$切$\odot O$于点$C$,交$AB$的延长线于点$D$,若$\angle ACD = 120^{\circ}$,则$\angle A$的度数为30°.

答案： 13 30° 【解析】切线的性质+等腰三角形的性质
∵CD切⊙O于点C。
∴$∠OCD = 90°$。
∵$∠ACD = 120°$，
∴$∠ACO = 30°$。又
∵$OA = OC$，
∴$∠A = ∠ACO = 30°$。

14. 有 8 张卡片,上面分别写着 1,2,3,4,5,6,7,8.这些卡片除数字外其余都相同,从中任意抽取一张,该卡片上的数是 3 的整数倍的概率是$\frac{1}{4}$.

答案： 14 $\frac{1}{4}$ 【解析】概率公式
∵共有8张卡片，其中是3的整数倍的有3和6，共2张，
∴从中任意抽取一张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。

15. 我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题:甲、乙两人有钱若干,若甲给乙 10 钱,则甲的钱是乙的 2 倍;若乙给甲 5 钱,则乙的钱是甲的$\dfrac{1}{3}$.若设甲原有$x$钱,乙原有$y$钱,则可列方程组______(结果可以不化简).

答案： 15 $\begin{cases}x - 10 = 2(y + 10),\frac{1}{3}(x + 5) = y - 5\end{cases}$ 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组

16. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$,$F$分别落在$AD$,$BC$上,连接$EF$得到正方形$ABFE$.在$AE$上取一点$G$,在$CD$上取一点$H$,使得$GE = CH$,连接$BG$,$GH$,$BH$,$GH$和$BH$分别交$EF$于点$I$和$K$.若$BG = GH$,$AE:ED = 2:1$,则四边形$BGIK$和$\triangle HKI$的面积比为______ .

答案：
16 5:1 【解析】全等三角形的判定与性质+矩形的性质+平行线分线段成比例定理
[第1步，连接GK，作GR//CD交BH，BC分别于点Q，R，证$Rt△GDH≌Rt△BAG$，再结合AE与ED的比例关系，得$DE = EG = AG$]
如图，连接GK。过点G作GR//CD交BH于点Q，交BC于点R(巧作辅助线：构造出多组平行线，进而运用平行线分线段成比例定理求解)。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠D = ∠A = 90°$，$CD = AB$。
∵四边形ABFE是正方形，
∴$AB = AE = CD$。
∵$GE = CH$，
∴$AE - GE = CD - CH$。
∴$AG = DH$。
∵$GH = GB$，
∴$Rt△GDH≌Rt△BAG(HL)$。
∴$DG = AB = AE$。
∵$AE:ED = 2:1$，
∴$DE = EG = AG$。
[第2步，利用平行线分线段成比例定理得到线段等量关系]
∵$AB//CD$，$AB//EF$，
∴$CD//EF//GR//AB$。
∴$CF = FR = BR$，$HK = KQ = BQ$，$HI = IG$(技巧：当题目中出现多条平行线和线段分割的情况时，考虑平行线分线段成比例定理)。
[第3步，根据面积关系求出面积比]
设$△HIK$的面积为$m$，则$△GIK$的面积为$m$，$△GKQ$的面积、$△GQB$的面积均为$2m$，
∴四边形$BGIK$的面积为$5m$。
∴四边形$BGIK$与$△HKI$的面积比为$5m:m = 5:1$（易错：在计算三角形面积时，容易忽略等高或底、高的比例关系，导致面积计算错误）。

17. (本小题满分 8 分)计算:$|-4|+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}+\sqrt[3]{-8}$.

答案： 17.实数的运算
解：原式 = 4 + 4 - 2
= 8 - 2
= 6。

18. (本小题满分 8 分)解方程组:$\begin{cases}2x + y = 7,\\2x - 3y = 3.\end{cases}$

答案： 18.解二元一次方程组
$\begin{cases}2x + y = 7,①\\2x - 3y = 3.②\end{cases}$
① - ②得$4y = 4$，即$y = 1$，
将$y = 1$代入①得$x = 3$，
则方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 1.\end{cases}$

19. (本小题满分 8 分)为了解某班学生物理实验“测定小灯泡的电功率”的操作成绩情况,现从中随机抽取甲、乙两组各 10 名学生的实验操作成绩进行统计,具体得分如下:
甲组:7,7,9,7,10,7,8,9,6,10
乙组:9,7,10,6,8,9,9,7,6,9
根据以上信息,回答下列问题:
(1)已知甲、乙两组数据的平均分都是 8 分,请分别求这两组数据的方差、中位数、众数.
(2)请你根据题目信息,对两组同学的物理实验操作成绩进行评价.

答案： 19.方差+中位数+众数
解：
(1)把甲组数据从小到大排列为$6,7,7,7,7,8,9,9,10,10$，
故甲组数据的中位数为$\frac{7 + 8}{2} = 7.5$。甲组数据的众数是$7$，
甲组数据的方差为$\frac{1}{10}×[(6 - 8)^{2}+4×(7 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+2×(9 - 8)^{2}+2×(10 - 8)^{2}] = 1.8$。
把乙组数据从小到大排列为$6,6,7,7,8,9,9,9,10$，
故乙组数据的中位数为$\frac{8 + 9}{2} = 8.5$。乙组数据的众数是$9$，
乙组数据的方差为$\frac{1}{10}×[2×(6 - 8)^{2}+2×(7 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+4×(9 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}] = 1.8$。
(2)乙组同学的物理实验操作成绩较好，理由如下：
因为两组同学的成绩的平均数和方差均相同，但乙组同学成绩的中位数和众数均高于甲组同学成绩的中位数和众数，所以乙组同学的物理实验操作成绩较好(答案不唯一)。