《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

19. （本小题满分8分）如图，在$\triangle ABC$中，$AD=3\sqrt{2}$，$BD=DC=4$，$∠ADC=45^{\circ}$.
（1）求线段$AC$的长.
（2）求$\tan∠ABC$的值.

答案：
19. 等腰直角三角形的判定与性质+勾股定理+锐角三角函数
解:
(1)如图，过点$A$作$AM \perp BC$于点$M$，
　　　　　　　
∵$\angle ADC = 45°$，
$\therefore \triangle ADM$是等腰直角三角形.
∵$AD = 3\sqrt{2}$，
$\therefore AM = DM = 3$(提示:等腰直角三角形的直角边长等于斜边长的$\frac{\sqrt{2}}{2}$).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
又
∵$BD = DC = 4$，
$\therefore CM = DC - DM = 4 - 3 = 1$.
在$Rt \triangle ACM$中，由勾股定理可得$AC = \sqrt{AM^2 + CM^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，即$AC$的长为$\sqrt{10}$.　　　　　　　　(4分)
(2)由
(1)知$DM = 3$，
又
∵$BD = 4$，
$\therefore BM = BD + DM = 7$.　　　　　　　　　　　　　　　(6分)
在$Rt \triangle ABM$中，$\tan \angle ABC = \frac{AM}{BM} = \frac{3}{7}$，
即$\tan \angle ABC$的值为$\frac{3}{7}$.　　　　　　　　　　　　　　(8分)

20. （本小题满分8分）在直角坐标系中，函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$与函数$y=2x$的图象交于两个不同的点$A$，$B$，点$A$的横坐标为2.
（1）求$k$的值和点$B$的坐标.
（2）若函数$y=2x$的图象向下平移$m(m＞0)$个单位长度后经过点$C(3,1)$，与$y$轴交于点$D$.
①求$m$的值.
②求$\triangle ABD$的面积.

答案： 20. 一次函数的图象及其性质+反比例函数的图象及其性质+函数图象的平移变换+三角形的面积
解:
(1)把$x = 2$代入$y = 2x$，得$y = 4$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(2, 4)$.　　　　　　　　　　　　　　　(1分)
将点$A$的坐标代入$y = \frac{k}{x}$，得$4 = \frac{k}{2}$，
解得$k = 8$，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
$\therefore$反比例函数表达式为$y = \frac{8}{x}$.
联立$\begin{cases}y = 2x \\y = \frac{8}{x}\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1 = 2 \\y_1 = 4\end{cases}$，$\begin{cases}x_2 = -2 \\y_2 = -4\end{cases}$.
∵点$A$的坐标是$(2, 4)$，
$\therefore$点$B$的坐标是$(-2, -4)$.　　　　　　　　　　　　(4分)
(2)①由题意得平移后的图象对应的函数表达式为$y = 2x - m$，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
将点$C(3, 1)$的坐标代入，得$1 = 2 × 3 - m$，
解得$m = 5$，即$m$的值为5.　　　　　　　　　　　　　(6分)
②由①得平移后的图象对应的函数表达式为$y = 2x - 5$，
令$x = 0$，得$y = -5$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(0, -5)$.　　　　　　　　　　　　　(7分)
设$O$为坐标原点，
$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2} × 2 × 5 + \frac{1}{2} × 2 × 5 = 5 + 5 = 10$，即$\triangle ABD$的面积为10.　　　　　　　　　　　　　　　(8分)

21. （本小题满分8分）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线$AB$外一点$P$作这条直线的平行线.”小亮的作法如下：如图，在直线$AB$上任取一点$C$，以点$C$为圆心，$CP$的长为半径画弧交$AB$于点$D$，再分别以点$P$，$D$为圆心，$CP$的长为半径画弧，两弧交于点$E$，作直线$PE$，则$PE// AB$.
（1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由.
（2）连接$PD$，$CE$，交点为$O$，若$PC=5$，$PD=6$，求点$P$到直线$AB$的距离.

答案：
21. 尺规作图+平行线的判定+菱形的判定与性质+菱形的面积公式+勾股定理
解:
(1)正确.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1分)
理由如下:如图，连接$CE$，由作图可知，$CE$是$\angle PCB$的平分线，

$\therefore \angle PCE = \angle BCE$.
又$PC = PE$，
$\therefore \angle PCE = \angle PEC$.
$\therefore \angle PEC = \angle BCE$.
$\therefore PE // AB$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
(2)如图，连接$DE$，过点$P$作$PM \perp AB$于点$M$(巧作辅助线:连$DE$构造菱形，作$PM$为菱形的高).
　　　　　　　　
由作图可知，$PC = CD = DE = PE$，
$\therefore$四边形$PCDE$是菱形.
$\therefore$对角线$PD$与$CE$互相垂直平分.
$\because PD = 6$，$\therefore PO = OD = 3$.
$\because$在$Rt \triangle PCO$中，$PC = 5$，
$\therefore$由勾股定理可得$CO = 4$.
$\therefore CE = 8$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分)
$\therefore S_{菱形PCDE} = \frac{1}{2}PD · CE = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$.
$\therefore S_{菱形PCDE} = PM · CD = 24$.
又$CD = PC = 5$，
$\therefore PM = \frac{24}{5}$，即点$P$到$AB$的距离为$\frac{24}{5}$.　　　　　　　(8分)

22. （本小题满分10分）小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面.如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上.小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场.同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟.两人距离A地的路程$s$（米）和所经过的时间$t$（分）之间的函数关系如图2所示（公交车的停车时间忽略不计）.
（1）求公交车的平均速度.
（2）求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧.
（3）在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求$t$的值.

答案： 22. 一次函数图象的应用
解:
(1)从题中图象可以看出，小敏坐公交车的时间为$30 - 10 = 20$(分钟)，
行驶的路程为$8800 - 800 = 8000$(米)，　　　　　　　(1分)
$\therefore$公交车的平均速度为$\frac{8000}{20} = 400$(米/分钟).　　　　(3分)
(2)解法一(方程法):设经过$x$分钟小敏追上小慧，由题意可得方程为
$200x + 1800 = 800 + 400(x - 10)$，
解得$x = 25$，
即同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧.
解法二(函数法):由题意可知表示小慧行程的直线表达式为$s = 200t + 1800$，
设表示小敏坐公交车行程的直线表达式为$s = kt + b$，
该直线经过点$(10, 800)$和点$(30, 8800)$，
可得方程组$\begin{cases}10k + b = 800 \\30k + b = 8800\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 400 \\b = -3200\end{cases}$，
$\therefore$该直线表达式为$s = 400t - 3200$.
联立$\begin{cases}s = 200t + 1800 \\s = 400t - 3200\end{cases}$，
解得$t = 25$，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
即同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧.　　　　　　(6分)
(3)分两种情况讨论:
①若小敏在小慧后面400米，
则有$(200t + 1800) - (400t - 3200) = 400$，
解得$t = 23$；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
②若小敏在小慧前面400米，
则有$(400t - 3200) - (200t + 1800) = 400$，
解得$t = 27$.
综上，当两人相距400米时，$t$的值为23或27.　　　　(10分)