《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

24. （本小题满分12分）综合与实践
我们已经学过，在$\triangle ABC$中，若$∠ABC=90^{\circ}$，则三角形三边满足勾股定理：$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$.
【知识应用】
（1）如图1，在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$于点$D$，若$AC＞AB$，则$AC^{2}-AB^{2}=BC(CD - BD)$，请说明理由.
【拓展探究】
（2）如图2，在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$于点$D$，点$E$是$AC$的中点，连接$BE$.求证：$BE^{2}-\frac{1}{4}AC^{2}=BD·BC$.
【拓展应用】
（3）如图3，在$\triangle ABC$中，点$E$在边$AB$上（不与点$A$，$B$重合），点$F$在边$BC$上（不与点$B$，$C$重合），连接$EF$，$∠BEF=∠BCA$，点$O$为$\triangle BEF$的外心，连接$OA$，$OC$，求证：$OC^{2}-OA^{2}=BC^{2}-BA^{2}$.

答案：
24. 勾股定理+三角形的外心+等腰三角形的性质
解:
(1)$\because AD \perp BC$，
$\therefore \angle ADC = \angle ADB = 90°$.
$\therefore AC^2 = AD^2 + CD^2$，$AB^2 = AD^2 + BD^2$.
$\therefore AC^2 - AB^2 = AD^2 + CD^2 - AD^2 - BD^2 = CD^2 - BD^2 = (CD + BD)(CD - BD) = BC(CD - BD)$，
即$AC^2 - AB^2 = BC(CD - BD)$.　　　　　　　　　　　(2分)
(2)证明:[第1步，作$EM \perp BC$，证明$DM = CM$]
如图，过点$E$作$EM \perp BC$于点$M$，
　　　　　　　　　
$\because AD \perp BC$，$\therefore AD // EM$.
$\because$点$E$是$AC$的中点，
$\therefore AE = CE$. $\therefore DM = CM$.　　　　　　　　　　　　　　(4分)
[第2步，运用勾股定理，得$BE^2 - \frac{1}{4}AC^2 = (BM + CM) · (BM - CM)$]
在$Rt \triangle BEM$中，由勾股定理可得$BE^2 = BM^2 + EM^2$.
在$Rt \triangle CEM$中，由勾股定理可得$CE^2 = EM^2 + CM^2$.
$\because CE = \frac{1}{2}AC$，
$\therefore \frac{1}{4}AC^2 = EM^2 + CM^2$.
$\therefore BE^2 - \frac{1}{4}AC^2 = BM^2 + EM^2 - EM^2 - CM^2 = BM^2 - CM^2 = (BM + CM)(BM - CM)$.　　　　　　　　　　　(6分)
[第3步，等量代换，证明结论成立]
$\because BM + CM = BC$，$BM - CM = BM - DM = BD$，
$\therefore BE^2 - \frac{1}{4}AC^2 = BD · BC$.　　　　　　　　　　　　(7分)
(3)证明:[第1步，连接$OB$，$OE$，$OF$，延长$BO$交$AC$于点$N$，证明$\angle BNA = \angle BNC = 90°$，得直角三角形]
如图，连接$OB$，$OE$，$OF$，延长$BO$交$AC$于点$N$.
　　　　　　　
$\because$点$O$为$\triangle BEF$的外心，
$\therefore OB = OE = OF$(提示:三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等).
$\therefore \angle OBE = \angle OEB$，$\angle OBF = \angle OFB$，$\angle OEF = \angle OFE$.
$\because \angle EBF + \angle BEF + \angle BFE = 180°$，
$\therefore \angle OBE + \angle OFE + \angle OFB = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，
即$\angle OBE + \angle BFE = 90°$.
$\because \angle BEF = \angle BCA$，$\angle BEF + \angle AEF = 180°$，
$\therefore \angle AEF + \angle BCA = 180°$.
$\because \angle BAC + \angle EFC = 180°$，
$\therefore \angle BFE = \angle BAC$.
$\therefore \angle OBE + \angle BAC = 90°$.
$\therefore \angle BNA = 90°$，
$\therefore \angle BNC = 90°$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)
[第2步，运用勾股定理，代换得出结论]
在$Rt \triangle OAN$中，由勾股定理可得$OA^2 = ON^2 + AN^2$，
在$Rt \triangle OCN$中，由勾股定理可得$OC^2 = ON^2 + CN^2$，
$\therefore OC^2 - OA^2 = ON^2 + CN^2 - ON^2 - AN^2 = CN^2 - AN^2$.
在$Rt \triangle ABN$中，由勾股定理可得$BA^2 = BN^2 + AN^2$，
在$Rt \triangle BCN$中，由勾股定理可得$BC^2 = BN^2 + CN^2$，
$\therefore BC^2 - BA^2 = BN^2 + CN^2 - BN^2 - AN^2 = CN^2 - AN^2$.
$\therefore OC^2 - OA^2 = BC^2 - BA^2$.　　　　　　　　　　　　(12分)
(解析人:宋　旭)