《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

23. (本小题满分 10 分)已知二次函数$y = ax^{2}+bx - 1(a＜0)$的图象经过点$A(2,-1)$.
(1)求二次函数图象的对称轴.
(2)若$y = ax^{2}+bx - 1$的最大值为 4,将该函数的图象向右平移 3 个单位长度,得到新的二次函数图象,求此新的二次函数的表达式.
(3)设$y = ax^{2}+bx - 1$的图象与$x$轴的交点分别为$(x_{1},0)$,$(x_{2},0)$,且$x_{1}＜x_{2}$.若$0＜x_{2}-2x_{1}＜1$,分别求出$x_{1}$和$a$的取值范围.

答案： 23.二次函数的图象与性质+二次函数图象的平移变换
解：
(1)将$A(2, -1)$的坐标代入$y = ax² + bx - 1$得$-1 = 4a + 2b - 1$，
整理得$-\frac{b}{2a} = 1$，
∴二次函数图象的对称轴为$x = 1$。
(2)由
(1)得$-\frac{b}{2a} = 1$，即$b = -2a$，
将$x = 1$代入$y = ax² + bx - 1$，得$a + b - 1 = 4$，
将$b = -2a$代入$a + b - 1 = 4$，得$a = -5$，$b = 10$，
∴二次函数的表达式为$y = -5x² + 10x - 1$。
故将该函数的图象向右平移3个单位长度，得新的二次函数的表达式为$y = -5(x - 3)² + 10(x - 3) - 1$，整理得新的二次函数的表达式为$y = -5x² + 40x - 76$。
(3)[第1步，利用对称轴与不等式确定$x_1$的取值范围]
由二次函数图象的对称轴得$\frac{x_{1}+x_{2}}{2} = 1$，变形可得$x_2 = 2 - x_1$，
代入$0 ＜ x_2 - 2x_1 ＜ 1$中，得$0 ＜ 2 - x_1 - 2x_1 ＜ 1$(技巧：对于涉及二次函数两根关系和不等式的问题，利用对称轴公式消去一个未知数，可简化问题)，
解得$\frac{1}{3} ＜ x_1 ＜ \frac{2}{3}$。
[第2步，根据一元二次方程根的概念得到$a$关于$x_1$的表达式]
∵$x_2$和$x_1$是方程$ax² + bx - 1 = 0$的两个根，
∴把$x_1$代入方程得$ax_1² + bx_1 - 1 = 0$。
又
∵$b = -2a$，
∴$ax_1² - 2ax_1 - 1 = 0$，整理可得$a = \frac{1}{x_{1}^{2}-2x_{1}}$。
[第3步，构造二次函数并结合单调性求$a$的取值范围]
令$y = x_1² - 2x_1 = (x_1 - 1)² - 1$，
当$x_1 = \frac{1}{3}$时，$y = (\frac{1}{3} - 1)² - 1 = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$；
当$x_1 = \frac{2}{3}$时，$y = (\frac{2}{3} - 1)² - 1 = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$。
∵当$\frac{1}{3} ＜ x_1 ＜ \frac{2}{3}$时，$y$随$x_1$的增大而减小(易错：在确定二次函数单调性时，要准确判断对称轴与给定区间的位置关系，否则容易得出错误的单调性结论)，
∴$-\frac{8}{9} ＜ x_1² - 2x_1 ＜ -\frac{5}{9}$，则$-\frac{9}{5} ＜ \frac{1}{x_{1}^{2}-2x_{1}} ＜ -\frac{9}{8}$。
即$-\frac{9}{5} ＜ a ＜ -\frac{9}{8}$。
难点突破
与二次函数有关的求参数取值范围问题的解题策略
对于求参数取值范围问题，构造关于已知变量的函数，利用函数性质求解是重要技巧。可以通过配方等方法将二次函数表达式化为顶点式，方便分析其单调性和最值。这类求参数范围的问题在二次函数综合题中很常见，可能会结合函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式等知识，拓展方向可以是改变方程的形式、二次函数的系数关系或不等式的条件等，但总体思路还是通过建立变量之间的关系，利用函数性质求解，掌握此类方法对于解决其他涉及参数取值范围的代数问题也有借鉴意义。

24. (本小题满分 12 分)在$\triangle ABP$中,$\angle B = 90^{\circ}$,点$C$在斜边$AP$上,以$AC$为直径的$\odot O$交$BP$于点$E$,$F$,连接$FC$.
(1)如图 1,连接$OE$,若$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{EF}$,$\angle COE = 30^{\circ}$,请判断线段$FC$和$OE$的数量关系和位置关系,并说明理由.
(2)如图 2,连接$AE$,$AF$,$EC$.
①求证:$AB· AC = AE· AF$.
②若$EA = EP$,$\sin\angle BAF = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$,$PF - BF = 7$,求$PE$的长.

答案：
24.圆周角定理的推论+等边三角形的判定与性质+相似三角形的判定与性质+锐角三角函数+勾股定理
解：
(1)线段FC和OE的数量关系为$FC = OE$，位置关系为$OE⊥FC$。
理由如下：
如图1，连接OF，

∵$\overset{\frown}{EC} = \overset{\frown}{EF}$，$∠COE = 30°$，
∴$∠EOF = ∠COE = 30°$。
∴$∠COF = 60°$。
∵$OF = OC$，
∴$△OFC$为等边三角形。
∴$FC = OF = OC$。
∵$OE = OC$，
∴$FC = OE$。
∵$OE$为⊙O的半径，$\overset{\frown}{EC} = \overset{\frown}{EF}$，
∴$OE⊥FC$。
(2)①证明：
∵$AC$为⊙O的直径，
∴$∠AFC = ∠AEC = 90°$。
∴$∠CFE + ∠AFB = 90°$。
∵$∠B = 90°$，
∴$∠AFB + ∠BAF = 90°$。
∴$∠BAF = ∠CFE$。
∵$∠CFE = ∠EAC$，
∴$∠BAF = ∠EAC$。
∵$∠B = ∠AEC = 90°$，
∴$△BAF∽△EAC$。
∴$\frac{AB}{AF} = \frac{AE}{AC}$。
∴$AB·AC = AE·AF$。
②[第1步，作CH⊥PB，由$∠BAF = ∠EAC$及锐角三角函数设未知数求AF]
如图2，过点C作CH⊥PB于点H(巧作辅助线：构造直角三角形，利用锐角三角函数求线段长度)，

由①知$∠BAF = ∠EAC$，
∵$EA = EP$，
∴$∠EAC = ∠P$。
∴$∠BAF = ∠P$。
∵$sin∠BAF = \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{BF}{AF}$，
∴$sin∠P = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
设$BF = \sqrt{10}k$，则$AF = 10k$。
∴$AB = \sqrt{AF^{2}-BF^{2}} = 3\sqrt{10}k$。
∵$PF - BF = 7$，
∴$PF = 7 + \sqrt{10}k$。
∴$PB = PF + BF = 7 + 2\sqrt{10}k$。
∵$sin∠P = \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{AB}{PA}$，
∴$\frac{3\sqrt{10}k}{PA} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
∴$PA = 30k$(技巧：对于存在比例关系的线段，设未知数构建方程是解决线段长度问题的常用方法)。
∴$PB = \sqrt{PA^{2}-AB^{2}} = 9\sqrt{10}k = 7 + 2\sqrt{10}k$。
∴$k = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
∴$BF = 1$，$AB = 3$，$PF = 8$，$PB = 9$。
∴$AF = \sqrt{AB^{2}+BF^{2}} = \sqrt{10}$。
[第2步，证$△CFH∽△FAB$，得$CF$，$CP$，进而得$AC$]
∵$∠EFC = ∠EAC$，
∴$∠EFC = ∠P$。
∵$CH⊥PB$，
∴$PH = FH = \frac{1}{2}PF = 4$(提示：等腰三角形“三线合一”)。
∵$∠EFC = ∠EAC = ∠BAF$，$∠CHF = ∠B = 90°$，
∴$△CFH∽△FAB$。
∴$\frac{FH}{CF} = \frac{AB}{FA} = \frac{3}{\sqrt{10}}$。
∴$CF = \frac{4\sqrt{10}}{3}$。
∴$CP = CF = \frac{4\sqrt{10}}{3}$。
∵$PA = \sqrt{AB^{2}+PB^{2}} = 3\sqrt{10}$，
∴$AC = PA - PC = \frac{5\sqrt{10}}{3}$。
[第3步，利用锐角三角函数和勾股定理求出AE，进而得PE]
∵$sin∠CAE = sin∠BAF = \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{CE}{CA}$，
∴$CE = \frac{5}{3}$。
∴$AE = \sqrt{AC^{2}-EC^{2}} = 5$。
∴$PE = AE = 5$。
(解析人：袁小会)