《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

24. （本小题满分 12 分）如图 1，已知点 $D$ 在$\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上，连接 $AD$，$\odot O$ 是$\triangle ABD$ 的外接圆，$AC$ 切$\odot O$ 于点 $A$.
【探究发现】小敏通过探究发现：如图 2 中，过点 $A$ 作$\odot O$ 的直径 $AE$，连接 $ED$，根据已知条件，可以证明$\angle CAD = \angle B$. 请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程.
【拓展迁移】当 $CA = 3$，$BD = \dfrac{16}{5}$ 时，
（1）求$\dfrac{AD}{BA}$ 的值.
（2）求$\triangle ABC$ 面积的最大值，并求出此时$\odot O$ 的半径.

答案：
24. 圆周角定理的推论 + 圆的切线的性质 + 相似三角形的判定与性质 + 三角形的面积公式 + 锐角三角函数
解: [探究发现] 证明: 过点 A 作⊙O 的直径 AE，连接 ED，如图1（巧作辅助线: 作直径得所对的圆周角是直角）.
　　　　　　　　
∴ ∠ADE = 90°.
∴ ∠E + ∠EAD = 90°.
又
∵ AC 切⊙O 于点 A，
∴ ∠CAE = 90°，即 ∠CAD + ∠EAD = 90°（提示: 圆的切线垂直于过切点的直径）.
∴ ∠CAD = ∠E（提示: 同角的余角相等）.
又
∵ ∠E = ∠B，
∴ ∠CAD = ∠B.
[拓展迁移]
(1) 由 [探究发现] 知 ∠CAD = ∠B，又
∵ ∠C = ∠C，
∴ △CAD∽△CBA.
∴ $\frac{AD}{BA}$ = $\frac{CD}{CA}$.
设 CD = x，
∵ BD = $\frac{16}{5}$，
∴ CB = $\frac{16}{5}$ + x.
∴ $\frac{x}{3}$ = $\frac{3}{\frac{16}{5} + x}$，解得 x₁ = $\frac{9}{5}$，x₂ = -5（舍去）.
∴ CD = $\frac{9}{5}$.
∴ $\frac{AD}{BA}$ = $\frac{CD}{CA}$ = $\frac{\frac{9}{5}}{3}$ = $\frac{3}{5}$.
(2) [第 1 步，作 AH⊥BC，利用△ABC 的面积公式确定其取最大值的条件，并求出最大值]
如图2，过点 A 作 AH⊥BC 于 H，由
(1)知 BC = 5，
　　　　　　　
则 S△ABC = $\frac{1}{2}$·BC·AH ≤ $\frac{1}{2}$·BC·AC = $\frac{1}{2}$×5×3 = $\frac{15}{2}$，
当且仅当 AH 与 AC 重合时，△ABC 的面积取得最大值为 $\frac{15}{2}$.
[第 2 步，利用锐角三角函数求出 sinB 和 AD 的长]
此时，AC⊥BC，且 AC = 3，BC = 5，
∴ AB = $\sqrt{34}$.
∴ sinB = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{3}{\sqrt{34}}$ = $\frac{3\sqrt{34}}{34}$.
∵ $\frac{AD}{BA}$ = $\frac{3}{5}$，
∴ AD = $\frac{3\sqrt{34}}{5}$.
[第 3 步，根据同角的正弦值相等求出 AE 的长，即可求出⊙O 的半径]
又
∵ ∠E = ∠B，∠ADE = 90°，
∴ sinE = $\frac{AD}{AE}$ = $\frac{\frac{3\sqrt{34}}{5}}{\sqrt{34}}$ = $\frac{3}{5}$ = $\frac{\frac{3\sqrt{34}}{5}}{AE}$，
∴ AE = $\frac{34}{5}$.
∵ AE 是⊙O 的直径，
∴ 此时⊙O 的半径为 $\frac{17}{5}$.
（解析人: 宋旭）