《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

1. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，点 $D$ 是 $AB$ 边上一点，以 $BD$ 为直径的 $\odot O$ 与边 $AC$ 相切于点 $E$，与边 $BC$ 交于点 $F$，过点 $E$ 作 $EH\perp AB$ 于点 $H$，连接 $BE$。
(1) 求证：$BC = BH$。
(2) 若 $AB = 5$，$AC = 4$，求 $CE$ 的长。

答案：
1.圆的切线的性质+相似三角形的判定与性质+勾股定理+全等三角形的判定与性质
解：
(1)证明：连接$OE$(方法：知切线，连半径)，如图
$\because AC$为切线，$\therefore OE \perp AC$。$\therefore \angle AEO = 90^{\circ}$。
$\because \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore OE// BC$。$\therefore \angle 1 = \angle 3$。
$\because OB = OE$，$\therefore \angle 2 = \angle 3$。$\therefore \angle 1 = \angle 2$，
$\therefore EH = EC$(提示：角平分线的性质)。
在$Rt\triangle BEH$和$Rt\triangle BEC$中，$\begin{cases}BE = BE,\\EH = EC,\end{cases}$
$\therefore Rt\triangle BEH \cong Rt\triangle BEC(HL)$。$\therefore BC = BH$。

(2)在$Rt\triangle ABC$中，$BC = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$，
设$OE = r$，则$AO = 5 - r$。
$\because OE// BC$，$\therefore \triangle AOE \sim \triangle ABC$。
$\therefore \frac{AO}{AB} = \frac{OE}{BC}$，即$\frac{5 - r}{5} = \frac{r}{3}$，
解得$r = \frac{15}{8}$。
$\therefore AO = 5 - r = \frac{25}{8}$。
在$Rt\triangle AOE$中，$AE = \sqrt{(\frac{25}{8})^{2} - (\frac{15}{8})^{2}} = \frac{5}{2}$，
$\therefore CE = AC - AE = 4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$。

2. 如图，已知 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $AC$，$BC$，$D$ 为 $AC$ 上一点，连接 $DB$ 并延长交过 $C$ 点 $\odot O$ 的切线于点 $E$，已知 $CD = CB$。
(1) 求证：$\angle ABD=\angle E$。
(2) 若 $AB = 13$，$AD = 7$，求 $CE$ 长。

答案：
2.圆的切线的性质+圆的性质+相似三角形的判定与性质+勾股定理
解：
(1)证明：如图，连接$OC$(巧作辅助线：连接半径，根据切线的性质得到直角)。

$\because CE$为$\odot O$的切线，$\therefore OC \perp CE$。
$\therefore \angle ECB + \angle OCB = 90^{\circ}$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle ACO + \angle OCB = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle ECB = \angle ACO$。
又$OC = OA$，
$\therefore \angle OAC = \angle OCA = \angle ECB$。
$\because CD = CB$，
$\therefore \angle CDB = \angle CBD = 45^{\circ}$。
$\therefore \angle OAC + \angle ABD = \angle ECB + \angle E = 45^{\circ}$。
$\therefore \angle ABD = \angle E$。
(2)设$BC = CD = x$。
在$Rt\triangle ABC$中，$x^{2} + (7 + x)^{2} = 13^{2}$，
解得$x = 5$，
$\therefore BC = 5$。
由
(1)知$\angle ABD = \angle E$，$\angle DAB = \angle BCE$，
$\therefore \triangle ADB \sim \triangle CBE$。
$\therefore \frac{AD}{BC} = \frac{AB}{CE}$，即$\frac{7}{5} = \frac{13}{CE}$，
解得$CE = \frac{65}{7}$。

3. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$CD$ 是 $\odot O$ 的切线，$C$ 为切点，$OD\perp AB$ 于点 $O$，与 $AC$ 交于点 $E$。
(1) 求证：$DE = DC$。
(2) 连接 $AD$ 与 $\odot O$ 相交于点 $F$，若 $\odot O$ 的半径为 $3$，$OE = 1$，求点 $O$ 到 $AD$ 的距离。

答案：
3.圆的切线的性质+等腰三角形的性质+勾股定理+三角函数的概念
解：
(1)证明：如图，连接$OC$(巧作辅助线：构造等腰三角形求解)，
$\because OC = OA$，
$\therefore \angle OCA = \angle OAC$。
$\because CD$是$\odot O$的切线，
$\therefore CD \perp OC$(提醒：切线垂直于过切点的半径)。
$\therefore \angle OCA + \angle DCE = \angle OCD = 90^{\circ}$。
$\because OD \perp AB$于点$O$，
$\therefore \angle AOD = 90^{\circ}$。
$\because \angle DEC = \angle AEO$，
$\therefore \angle OAC + \angle DEC = \angle OAC + \angle AEO = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle DCE = \angle DEC$。
$\therefore DE = DC$。

(2)如图，作$OG \perp AD$于点$G$，则$\angle AGO = 90^{\circ}$(巧作辅助线：作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解)。
$\because \odot O$的半径为$3$，
$\therefore OA = OC = 3$。
$\because OC^{2} + DC^{2} = OD^{2}$，且$DC = DE$，$OD = 1 + DE$，
$\therefore 3^{2} + DE^{2} = (1 + DE)^{2}$，解得$DE = 4$。
$\therefore OD = 1 + 4 = 5$。
$\therefore AD = \sqrt{OA^{2} + OD^{2}} = \sqrt{3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{34}$。
$\because \frac{OG}{OA} = \frac{OD}{AD} = \sin\angle OAD$，
$\therefore OG = \frac{OA · OD}{AD} = \frac{3 × 5}{\sqrt{34}} = \frac{15\sqrt{34}}{34}$。
$\therefore$点$O$到$AD$的距离为$\frac{15\sqrt{34}}{34}$。