《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

4. 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的弦，点 $C$ 在弧 $AB$ 上，$AB$ 平分 $\angle OBC$，过点 $C$ 作 $CE\perp OA$ 于点 $E$，交 $AB$ 于点 $F$，连接 $OF$。
(1) 求 $\frac{OE}{BC}$ 的值。
(2) 求证：$\angle ECA=\angle BAO$。
(3) 当 $\frac{OE}{AE}=\frac{1}{3}$ 时，判断 $\triangle OBF$ 的形状，并说明理由。
(图)

答案：
4.圆周角定理+垂径定理+全等三角形的判定与性质+相似三角形的判定与性质+矩形的判定与性质+等腰三角形的判定与性质+勾股定理
【思维导图】
(1)连接$OC$，过点$O$作$OD \perp BC$于点$D$ $\to BC = 2BD = 2CD$。
$2BD = 2CD$，$AB$平分$\angle OBC$ $\to BC// OA$。
$BC = 2OE$ $\to$得解。
(2)$OB = OC$ $\to \angle OBC = \angle BCO$ $\to \angle BOC = 180^{\circ} - 4\angle CBA$，
$\angle BAC = 90^{\circ} - 2\angle CBA$ $\to \angle ECA = 90^{\circ} - \angle OAC$
$= 90^{\circ} - \angle BAO - \angle BAC$
$= 90^{\circ} - \angle BAO - (90^{\circ} - 2\angle CBA)$
$= 2\angle CBA - \angle BAO$
$= \angle BAO$。
(3)$\triangle OBF$是等腰三角形.理由如下：
由
(1)可知$\frac{OE}{BC} = \frac{1}{2}$，$\because \frac{BC}{AE} = \frac{2}{3}$。
易证$\triangle BCF \sim \triangle AEF$，得$\frac{BF}{AF} = \frac{BC}{AE} = \frac{2}{3}$。
过点$O$分别作$AC$，$AB$的垂线，垂足分别为$M$，$N$，如图2，

设$BF = 2x$，则$AF = 3x$，$AB = 5x$，$AN = \frac{5x}{2}$，$FN = \frac{x}{2}$，
易证$\triangle AFC \sim \triangle ACB$，得$\frac{AC}{AB} = \frac{AF}{AC}$，
即$AC = \sqrt{AB · AF} = \sqrt{15}x$，
$\therefore AM = \frac{\sqrt{15}x}{2}$(关键：由相似表示出边长)。
易得$\triangle AOM \cong \triangle OAN(AAS)$，
$\therefore ON = AM = \frac{\sqrt{15}x}{2}$。
在$Rt\triangle ONF$中，$OF = \sqrt{ON^{2} + FN^{2}} = 2x$，
$\therefore OF = BF$，即$\triangle OBF$是等腰三角形。
解：
(1)连接$OC$，过点$O$作$OD \perp BC$于点$D$，如图1，
则BC=2BD=2CD。
$\because AB$平分$\angle OBC$，$\therefore \angle OBA = \angle ABC$。
又$\angle OBA = \angle OAB$，$\therefore \angle ABC = \angle OAB$。$\therefore BC// OA$。
$\because CE \perp OA$，$\therefore$四边形$OECD$为矩形，
$\therefore CD = OE$，$\therefore BC = 2OE$，即$\frac{OE}{BC} = \frac{1}{2}$。

(2)证明：$\because OB = OC$，$\therefore \angle OBC = \angle BCO$。
$\because \angle CBA = \angle OBA$，$\therefore \angle BOC = 180^{\circ} - 4\angle CBA$。
$\therefore \angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC = 90^{\circ} - 2\angle CBA$。
$\angle ECA = 90^{\circ} - \angle OAC$
$= 90^{\circ} - \angle BAO - \angle BAC$
$= 90^{\circ} - \angle BAO - (90^{\circ} - 2\angle CBA)$
$= 2\angle CBA - \angle BAO$
$= \angle BAO$。
(3)$\triangle OBF$是等腰三角形.理由如下：
由
(1)可知$\frac{OE}{BC} = \frac{1}{2}$，$\therefore \frac{BC}{AE} = \frac{2}{3}$。
易证$\triangle BCF \sim \triangle AEF$，得$\frac{BF}{AF} = \frac{BC}{AE} = \frac{2}{3}$。
过点$O$分别作$AC$，$AB$的垂线，垂足分别为$M$，$N$，如图2，
设$BF = 2x$，则$AF = 3x$，$AB = 5x$，$AN = \frac{5x}{2}$，$FN = \frac{x}{2}$，
易证$\triangle AFC \sim \triangle ACB$，得$\frac{AC}{AB} = \frac{AF}{AC}$，
即$AC = \sqrt{AB · AF} = \sqrt{15}x$，
$\therefore AM = \frac{\sqrt{15}x}{2}$(关键：由相似表示出边长)。
易得$\triangle AOM \cong \triangle OAN(AAS)$，
$\therefore ON = AM = \frac{\sqrt{15}x}{2}$。
在$Rt\triangle ONF$中，$OF = \sqrt{ON^{2} + FN^{2}} = 2x$，
$\therefore OF = BF$，即$\triangle OBF$是等腰三角形。

5. (2024·福建) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$，$AE\perp OC$，垂足为 $E$，$BE$ 的延长线交 $\overset{\frown}{AD}$ 于点 $F$。
(1) 求 $\frac{OE}{AE}$ 的值。
(2) 求证：$\triangle AEB\backsim\triangle BEC$。
(3) 求证：$AD$ 与 $EF$ 互相平分。

答案：
5.圆的性质+锐角三角函数+平行线的性质与判定+全等三角形的判定与性质+相似三角形的判定与性质+平行四边形的判定与性质
【思维导图】
(2)过点$B$作$BM// AE$，交$EO$延长线于点$M$ $\to \triangle AOE \cong \triangle BOM$
对应边相等 $\to AE = BM$，$OE = OM$。
$\frac{OE}{AE} = \frac{1}{2}$ $\to BM = 2OE = EM$ $\to \angle MEB = \angle MBE = 45^{\circ}$ $\to$
$\angle AEB = \angle BEC = 135^{\circ}$。
$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$ $\to \angle ABC = 45^{\circ}$ $\to$
等量代换 $\to \angle BAE = \angle CBE$。
两角对应相等 $\to \triangle AEB \sim \triangle BEC$ $\to$结论得证。
(3)连接$DE$，$DF$。
$\because AB$是$\odot O$的直径 $\to \angle ADB = \angle AFB = 90^{\circ}$。
$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$ $\to \triangle AOE \sim \triangle BDE$
对应相等 $\to \angle BED = \angle AEO = 90^{\circ}$ $\to$
$\angle AFB = \angle DEF$ $\to AF// DE$。
由
(2)知，$\angle AEB = 135^{\circ}$，
$\therefore \angle AEF = 180^{\circ} - \angle AEB = 45^{\circ}$。
$\because \angle DFB = \angle DAB = 45^{\circ}$(提示：同弧$BD$所对的圆周角相等)，
$\therefore \angle DFB = \angle AEF$。
$\therefore AE// FD$。
$\therefore$四边形$AEDF$是平行四边形。
$\therefore AD$与$EF$互相平分 $\to$结论得证。
解：
(1)如图1，$\because AB = AC$，且$AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore AC = 2AO$。
$\because \angle BAC = 90^{\circ}$，$\therefore$在$Rt\triangle AOC$中，$\tan\angle AOC = \frac{AC}{AO} = 2$。
$\because AE \perp OC$，
$\therefore$在$Rt\triangle AOE$中，$\tan\angle AOC = \frac{AE}{OE}$。
$\therefore \frac{AE}{OE} = 2$。$\therefore \frac{OE}{AE} = \frac{1}{2}$。

(2)证明：如图2，过点$B$作$BM// AE$，交$EO$延长线于点$M$。

$\therefore \angle BAE = \angle ABM$，$\angle AEO = \angle BMO = 90^{\circ}$(理由：两直线平行，内错角相等)。
$\because AO = BO$，
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle BOM$。
$\therefore AE = BM$，$OE = OM$。
$\because \frac{OE}{AE} = \frac{1}{2}$，
$\therefore BM = 2OE = EM$。
$\therefore \angle MEB = \angle MBE = 45^{\circ}$(提示：$\triangle BME$是等腰直角三角形)。
$\therefore \angle AEB = \angle AEO + \angle MEB = 135^{\circ}$。
$\angle BEC = 180^{\circ} - \angle AEB = 135^{\circ}$。
$\therefore \angle AEB = \angle BEC$。
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = 45^{\circ}$。
$\therefore \angle ABM = \angle CBE$。
$\therefore \angle BAE = \angle CBE$。
$\therefore \triangle AEB \sim \triangle BEC$。
(3)证明：如图3，连接$DE$，$DF$。

$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ADB = \angle AFB = 90^{\circ}$(提示：直径所对的圆周角是直角)，$AB = 2AO$。
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，
$\therefore BC = 2BD$，$\angle DAB = 45^{\circ}$。
由
(2)知，$\triangle AEB \sim \triangle BEC$，
$\therefore \frac{AE}{BE} = \frac{AB}{BC} = \frac{2AO}{2BD} = \frac{AO}{BD}$，$\angle EAO = \angle EBD$。
$\therefore \triangle AOE \sim \triangle BDE$(方法：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)。
$\therefore \angle BED = \angle AEO = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle DEF = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle AFB = \angle DEF$。$\therefore AF// DE$。
由
(2)知，$\angle AEB = 135^{\circ}$，
$\therefore \angle AEF = 180^{\circ} - \angle AEB = 45^{\circ}$。
$\because \angle DFB = \angle DAB = 45^{\circ}$(提示：同弧$BD$所对的圆周角相等)，
$\therefore \angle DFB = \angle AEF$。
$\therefore AE// FD$。
$\therefore$四边形$AEDF$是平行四边形。
$\therefore AD$与$EF$互相平分。