《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

1. 如图 1，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，过点 $A$ 作 $AE// CB$ 交 $CD$ 的延长线于点 $E$，$AD = DE$。
(1) 求证：$\angle BAD=\angle EAD$。
(2) 如图 2，连接 $AC$，若 $D$ 是优弧 $ACB$ 的中点，$CE = 4CD = 4$，求 $AC$ 的长。

答案：
1.平行线的性质+圆内接四边形的性质+相似三角形的判定与性质
解：
(1)证明：$\because AD = DE$，$AE// BC$，
$\therefore \angle EAD = \angle E$，$\angle E + \angle C = 180^{\circ}$(提示：两直线平行，同旁内角互补)。
又$\angle BAD + \angle C = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD = \angle E = \angle EAD$。
(2)如图，连接$BD$，

由题意得$\angle ACD = \angle BAD = \angle DAE = \angle E$，
$\therefore AC = AE$且$\triangle ACE \sim \triangle DEA$。
$\therefore \frac{CE}{EA} = \frac{AE}{DA}$。
$\because CE = 4$，$DA = DE = CE - CD = 4 - 1 = 3$，
$\therefore AE = 2\sqrt{3}$。
$\therefore AC = AE = 2\sqrt{3}$。

2. 如图，$\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$，$AB = AC$，$AD$ 是 $\odot O$ 的直径，$BC$ 交 $AD$ 于点 $E$。
(1) 求证：$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$。
(2) 若 $BC = 8$，$AC = 4\sqrt{5}$，求 $\odot O$ 的半径。

答案：
2.勾股定理+垂径定理+同圆中弧、弦之间的关系
解：
(1)证明：$\because AD$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ABD = \angle ACD$。
$\because AB = AC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC}$。
$\therefore \overset{\frown}{ABD} - \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{ACD} - \overset{\frown}{AC}$，
即$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$。
(2)连接$OC$，如图所示。

$\because \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}$，$AD$是$\odot O$的直径，
$\therefore AE \perp BC$。
$\therefore CE = \frac{1}{2}BC = 4$。
在$Rt\triangle AEC$中，$AC = 4\sqrt{5}$，
$\therefore AE = \sqrt{AC^{2} - CE^{2}} = 8$。
设$\odot O$的半径为$r$，
$\therefore OE = AE - OA = 8 - r$。
在$Rt\triangle OEC$中，$OE^{2} = OC^{2} - CE^{2}$，
$\therefore (8 - r)^{2} = r^{2} - 16$，
解得$r = 5$。
$\therefore \odot O$的半径为$5$。

3. 如图，$AB$ 是半圆 $O$ 的直径，$C$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，过点 $C$ 作弦 $BD$ 的垂线，垂足为 $E$。
(1) 求证：$CE = DE$。
(2) 若 $AD = DE = 1$，求 $AB$ 的长。

答案： 3.圆周角定理及其推论+等腰直角三角形的判定和性质+相似三角形的判定及性质+勾股定理
解：
(1)证明：连接$OC$，$CD$。
$\because C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$\therefore \angle BOC = \angle AOC = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BDC = \frac{1}{2}\angle BOC = 45^{\circ}$(提示：圆周角定理)。
$\because CE \perp DE$，
$\therefore \triangle CDE$是等腰直角三角形。$\therefore CE = DE$。
(2)由
(1)知$CE = DE$。
$\because AD = DE = 1$，$\therefore CE = DE = 1$。
设$CO \cap BD = F$，过点$O$作$OG \perp BD$于点$G$，
则$\triangle OGB \sim \triangle ADB$，
$\therefore \frac{BO}{BA} = \frac{OG}{AD} = \frac{BG}{BD} = \frac{1}{2}$。$\therefore OG = \frac{1}{2}$，$BG = GD$。
易知$\triangle OGF \sim \triangle CEF$，
$\therefore \frac{GF}{EF} = \frac{OG}{CE} = \frac{OG}{AD} = \frac{1}{2}$。
设$GF = x$，$EF = 2x$，则$BG = GD = 3x + 1$。
$\because \angle CEF = \angle BOF = 90^{\circ}$，$\angle EFC = \angle OFB$，
$\therefore \angle ECF = \angle OBG$。$\therefore \triangle CEF \sim \triangle BGO$。
$\therefore \frac{BG}{CE} = \frac{GO}{EF}$，即$\frac{3x + 1}{1} = \frac{\frac{1}{2}}{2x}$。
解得$x = \frac{1}{6}$或$x = -\frac{1}{2}$(舍)，
$\therefore BD = 2(3x + 1) = 3$。
在$Rt\triangle ADB$中，$AB = \sqrt{AD^{2} + BD^{2}} = \sqrt{10}$。