《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

7. 请阅读材料并求解：
要使 $\frac{1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}-\frac{B}{x+2}$ 恒成立，我们可以把 $x=1$，$x=-1$ 分别代入上式，得方程组 $\begin{cases}\frac{A}{1}-\frac{B}{1+2}=\frac{1}{3},\frac{A}{-1}-\frac{B}{-1+2}=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}A=\frac{1}{2},\\B=\frac{1}{2},\end{cases}$ 即 $\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2(x+2)}$.
(1) 请用上述方法将 $\frac{1}{(x-2)(2x+1)}$ 写成 $\frac{1}{(x-2)(2x+1)}=\frac{A}{x-2}-\frac{B}{2x+1}$ 的形式.
(2) 如何求解下面的分式方程：$\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}-\frac{1}{2x}=1$.

答案：
(1)将$x = 1$，$x=-1$分别代入题中所给式子，
得$\begin{cases}\frac{A}{1 - 2}-\frac{B}{2 + 1}=-\frac{1}{3},\frac{A}{-1 - 2}-\frac{B}{-2 + 1}=\frac{1}{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}A=\frac{1}{5},\\B=\frac{2}{5}.\end{cases}$
即$\frac{1}{(x - 2)(2x + 1)}=\frac{\frac{1}{5}}{x - 2}-\frac{\frac{2}{5}}{2x + 1}$.
(2)原式可变形为$\frac{1}{2x}-\frac{1}{2(x + 2)}+\frac{1}{2(x + 2)}-\frac{1}{2(x + 4)}-\frac{1}{2x}=1$，
则$-\frac{1}{2(x + 4)}=1$，$2x + 8=-1$，$2x=-9$，$x=-\frac{9}{2}$，
经检验，$x =-\frac{9}{2}$是所给分式方程的解，
$\therefore$分式方程的解为$x =-\frac{9}{2}$.

8. 【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一. 作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小. 即要比较代数式 $A$，$B$ 的大小，只要算 $A-B$ 的值，若 $A-B＞0$，则 $A＞B$；若 $A-B=0$，则 $A=B$；若 $A-B＜0$，则 $A＜B$.
【知识运用】
(1) 请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“＞”或“＜”）：
① 当 $x＞y$ 时，$3x+5y$＞$2x+6y$；
② 若 $q＞p＞0$，$c＞0$，$\frac{p}{q}$＜$\frac{p+c}{q+c}$.
(2) 试比较 $2(3x^{2}+x+1)$ 与 $5x^{2}+4x-3$ 的大小，并说明理由.
【拓展运用】(3) 已知甲、乙两船同时从 $A$ 港出 发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为 $v_{1}$ km/h，$v_{2}$ km/h，水流速度为 $v_{0}$ km/h，且 $v_{1}＞v_{2}＞v_{0}＞0$，两船同时顺流航行 1 h 后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为 $t_{1}$，$t_{2}$，请通过比较 $t_{1}$，$t_{2}$ 的大小，判断哪条船先返回 $A$ 港？并说明理由.

答案：
(1)①＞.
【解题过程】由题意得$x＞y$，
$\therefore(3x + 5y)-(2x + 6y)=3x + 5y-2x-6y=x - y＞0$.
$\therefore3x + 5y＞2x + 6y$.
②＜.
【解题过程】$\because q＞p＞0$，$c＞0$，
$\therefore\frac{p}{q}-\frac{p + c}{q + c}=\frac{p(q + c)-q(p + c)}{q(q + c)}=\frac{c(p - q)}{q(q + c)}＜0$.
$\therefore\frac{p}{q}＜\frac{p + c}{q + c}$.
(2)$2(3x^{2}+x + 1)＞5x^{2}+4x-3$.理由如下，
$2(3x^{2}+x + 1)-(5x^{2}+4x-3)$
$=6x^{2}+2x + 2-5x^{2}-4x + 3$
$=x^{2}-2x + 5$
$=(x - 1)^{2}+4＞0$，
$\therefore2(3x^{2}+x + 1)＞5x^{2}+4x-3$.
(3)甲船先返回A港.理由如下，
由题意得，甲船顺流速度为$(v_{1}+v_{0})km/h$，
则甲船顺流$1 h$的路程为$(v_{1}+v_{0})km$.
乙船顺流速度为$(v_{2}+v_{0})km/h$，
则乙船顺流$1 h$的路程为$(v_{2}+v_{0})km$.
$\therefore$返航时甲船速度为$(v_{1}-v_{0})km/h$，则$t_{1}=\frac{v_{1}+v_{0}}{v_{1}-v_{0}}$，
返航时乙船速度为$(v_{2}-v_{0})km/h$，则$t_{2}=\frac{v_{2}+v_{0}}{v_{2}-v_{0}}$
$\therefore t_{1}-t_{2}=\frac{v_{1}+v_{0}}{v_{1}-v_{0}}-\frac{v_{2}+v_{0}}{v_{2}-v_{0}}$
$=\frac{(v_{1}+v_{0})(v_{2}-v_{0})-(v_{2}+v_{0})(v_{1}-v_{0})}{(v_{1}-v_{0})(v_{2}-v_{0})}$
$=\frac{2v_{0}(v_{2}-v_{1})}{(v_{1}-v_{0})(v_{2}-v_{0})}$
$\because v_{1}＞v_{2}＞v_{0}＞0$，
$\therefore\frac{2v_{0}(v_{2}-v_{1})}{(v_{1}-v_{0})(v_{2}-v_{0})}＜0$.
$\therefore t_{1}＜t_{2}$.
$\therefore$甲船先返回A港.