《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

16. 如图，矩形$ABCD$内接于$\odot O$，$E$是$\overset{\frown}{AD}$上一点，连接$EB$，$EC$分别交$AD$于点$F$，$G$.若$AF = 1$，$EG = FG = 3$，则$\odot O$的直径为______.

答案：
16.2$\sqrt{14}$　[解析]矩形的性质+圆周角定理的推论+全等三角形的判定与性质+勾股定理
[第1步，连接AC,根据等边对等角和圆周角定理的推论得∠AFB=∠BAC，再结合等角的余角相等和圆周角定理的推论得∠DAC=∠ACE,据此可得CG=AG=4]
如图，连接AC交BE于点H,
∵EG=FG=3,
∴∠BEC=∠GFE=∠AFB.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BEC=∠BAC(提示:同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等).
∴∠AFB=∠BAC.
∴∠AHB=∠DAC+∠AFB=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°.
∴∠DAC=90°−∠BAC=∠ABE.
∵AE=AE,
∴∠ABE=∠ACE.
∴∠DAC=∠ACE.
∴CG=AG=AF+FG=1+3=4.
[第2步，易知AC是⊙O的直径，证明△CDG≌△AEG,据此可得AD，再结合勾股定理求CD,AC，即可得解]
∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD的外接圆为⊙O,
∴AC是⊙O的直径（关键:矩形的对角线即其外接圆的一条直径，可根据圆周角定理的推论证明）.
∴∠AEG=90°.
∴∠CDG=∠AEG.又∠CGD=∠AGE,CG=AG,
∴△CDG≌△AEG.
∴DG=EG=3.
∴AD=AG+DG=4+3=7,CD=$\sqrt{CG²−DG²}$=$\sqrt{4²−3²}$=$\sqrt{7}$.
∴AC=$\sqrt{AD²+CD²}$=$\sqrt{7²+(\sqrt{7})²}$=2$\sqrt{14}$.
∴⊙O的直径为2$\sqrt{14}$.
　　　　　　　

17. （本小题满分8分）化简求值：$x(5 - x) + x^{2} + 3$，其中$x = 2$.

答案： 17.整式的化简求值
解:原式=5x−x²+x²+3 = 5x+3.　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
当x=2时,原式=13.　　　　　　　　　　　　　　　(8分)

18. （本小题满分8分）解分式方程：$\frac{3}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$.

答案： 18.解分式方程
解:去分母,得3(x−1)−(x+1)=0,　　　　　　　　(4分)
解得:x=2.
检验:把x=2代入原方程，得左边=$\frac{3}{2+1}$−$\frac{1}{2−1}$=0=右边，因此x=2是原方程的解.　　　　　　　　　　　　　　(8分)

19. （本小题满分8分）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板$ABCD$上剪下机翼状纸板（阴影部分），点$E$在对角线$BD$上.

【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出$\triangle ABE\cong\triangle CBE$的证明过程.
（2）若裁剪过程中满足$DE = DA$，求“机翼角”$\angle BAE$的度数.

答案：
19.正方形的性质+全等三角形的判定
解:
(1)证明:如图，在正方形ABCD中，BA=BC,∠ABD=∠CBD=45°.
在△ABE和△CBE中，因为$\begin{cases} BA=BC, \\ \angle ABE=\angle CBE, \\ BE=BE, \end{cases}$所以△ABE≌△CBE(SAS).　　　　　　　　　　　　(4分)
(2)在正方形ABCD中,∠BAD=90°,∠ADB=45°.因为DE=DA,所以∠DAE=∠DEA=67.5°.所以∠BAE=90°−67.5°=22.5°.　　　　　　　　　　(8分)
　　　　　　　　　

20. （本小题满分8分）2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛.全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加.随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表.

（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：83，91，83，90，83，88，91，求该班获奖选手成绩的众数与中位数.
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数.

答案： 20.众数+中位数+用样本估计总体
解:
(1)众数:83分;中位数:88分.　　　　　　　　　　(4分)
(2)120×$\frac{5 + 6×3 + 7×2 + 8×3 + 9}{10}$=840(人).　　　　(8分)