《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

1. 阅读理解：求代数式 $x^{2}+4x+5$ 的最小值. 同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”：$x^{2}+4x+5=x^{2}+4x+4+1=(x+2)^{2}+1$.
因为 $(x+2)^{2}\geq0$，
所以 $(x+2)^{2}+1\geq1$.
所以当 $(x+2)^{2}=0$ 时，$(x+2)^{2}+1$ 的值最小，最小值是 1.
所以 $x^{2}+4x+5$ 的最小值是 1.
依据上述方法，解决下列问题：
(1) 求出多项式 $-x^{2}+2x+18$ 的最大值.
(2) 已知 $-x^{2}+5x+y+20=0$，求 $y+x$ 的最小值.

答案：
(1)$-x^{2}+2x+18=-(x - 1)^{2}+19$.
$\because (x - 1)^{2}\geqslant0$，
$\therefore -(x - 1)^{2}+19\leqslant19$.
$\therefore$当$(x - 1)^{2}=0$时，$-(x - 1)^{2}+19$的值最大，最大值是$19$.
$\therefore -x^{2}+2x+18$的最大值是$19$.
(2)$\because -x^{2}+5x+y+20 = 0$，
$\therefore y=x^{2}-5x-20$.
$\therefore y + x=x^{2}-5x-20+x=x^{2}-4x-20=(x - 2)^{2}-24$.
$\because (x - 2)^{2}\geqslant0$，
$\therefore (x - 2)^{2}-24\geqslant - 24$.
$\therefore$当$(x - 2)^{2}=0$时，$(x - 2)^{2}-24$的值最小，最小值是$-24$.
$\therefore y + x$的最小值是$-24$.

2. 阅读与思考
下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
探索 141 的算术平方根的近似值
思考：$\sqrt{4}$ 表示 4 的算术平方根，其值为 2. 同样地，$\sqrt{36}$ 表示 36 的算术平方根，其值为 6，则 141 的算术平方根是多少呢？
问题解决：141 的算术平方根为 $\sqrt{141}$，可以将其转化为正方形的边长求解.
$\because 121＜141＜144$，$\therefore 11＜\sqrt{141}＜12$.
设 $\sqrt{141}=11+x$，则 $x=\sqrt{141}-11$.
$\because 11＜\sqrt{141}＜12$，
$\therefore 11-11＜\sqrt{141}-11＜12-11$（依据）.
$\therefore 0＜\sqrt{141}-11＜1$，即 $0＜x＜1$.
画出如图 1 所示的示意图，
图 1
可得 $S_{正方形}=11^{2}+2×11x+x^{2}$.
$\because S_{正方形}=141$，
$\therefore 11^{2}+2×11x+x^{2}=141$.
当 $x^{2}＜1$ 时，可忽略 $x^{2}$，得 $121+22x\approx141$，得到 $x\approx0.9$，
即 $\sqrt{141}\approx11.9$.
任务：
(1) 材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）.
A. 不等式的性质 1
B. 不等式的性质 2
C. 分类讨论思想
D. 数形结合思想
(2) 仿照上述方法，在图 2 中补全探究 $\sqrt{249}$ 近似值的相关数据.
图 2
(3) 求 $\sqrt{249}$ 的近似值.（保留一位小数）

答案：

(1)A D.
(2)补全图形如图，

(3)由
(2)可知，$S_{正方形}=15^{2}+2×15x+x^{2}$.
$\because S_{正方形}=249$，
$\therefore 15^{2}+2×15x+x^{2}=249$.
当$x^{2}＜1$时，可忽略$x^{2}$，得$225 + 30x\approx249$，得到$x\approx0.8$，
即$\sqrt{249}\approx15.8$.