《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

5. (2024·四川达州月考) 阅读下面材料：
观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题.
在锐角 $\triangle ABC$ 中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 的对边分别是 $a$，$b$，$c$，过点 $A$ 作 $AD\perp BC$ 交 $BC$ 于点 $D$（如图 1），则 $\sin B=\frac{AD}{c}$，$\sin C=\frac{AD}{b}$，即 $AD=c\sin B$，$AD=b\sin C$，于是 $c\sin B=b\sin C$，即 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$. 同理有 $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，所以 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素. 根据上述材料，完成下列各题.

(1) 如图 1，$\triangle ABC$ 中，$\angle B=75^{\circ}$，$\angle C=45^{\circ}$，$BC=30$，则 $AB=$______.
(2) 如图 2，一货轮在 $C$ 处测得灯塔 $A$ 在货轮的北偏西 $30^{\circ}$ 的方向上，随后货轮以 40 海里 1 时的速度按北偏东 $30^{\circ}$ 的方向航行，半小时后到达 $B$ 处，此时又测得灯塔 $A$ 在货轮的北偏西 $75^{\circ}$ 的方向上，求此时货轮距灯塔 $A$ 的距离 $AB$.
(3) 在 (2) 的条件下，试求 $75^{\circ}$ 的正弦值.（结果保留根号）

答案：

(1)$10\sqrt{6}$.
【解题过程】$\because\angle B = 75^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$，
$\therefore\angle BAC = 60^{\circ}$.
$\therefore\frac{BC}{\sin60^{\circ}}=\frac{AB}{\sin45^{\circ}}$，$\frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，$\therefore AB = 10\sqrt{6}$.
(2)由题意得，$\angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle ABC = 75^{\circ}$，$BC = 40×\frac{1}{2}=20$（海里），
$\therefore\angle BAC = 45^{\circ}$.
$\therefore\frac{BC}{\sin45^{\circ}}=\frac{AB}{\sin60^{\circ}}$，$\frac{20}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，$\therefore AB = 10\sqrt{6}$.
答：此时货轮距灯塔A的距离$AB$为$10\sqrt{6}$海里.
(3)如图，过点B作$BD\perp AC$交$AC$于点$D$，

$\because\angle ACB = 60^{\circ}$，$BC = 20$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}BC = 10$，$BD = 10\sqrt{3}$.
$\because\angle CAB = 45^{\circ}$，
$\therefore AD = BD = 10\sqrt{3}$.
$\therefore AC = AD + CD = 10\sqrt{3}+10$.
$\therefore\frac{AC}{\sin75^{\circ}}=\frac{BC}{\sin45^{\circ}}$，$\frac{10\sqrt{3}+10}{\sin75^{\circ}}=\frac{20}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\therefore\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

6. 阅读下面材料：我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫作配方法. 配方法是解决问题的一种重要的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求式子的最大值或最小值.

根据上述材料，解答下列问题：
(1) 分解因式：$x^{2}-46x+520$.
(2) 当 $m$，$n$ 为何值时，式子 $m^{2}-2mn-2m+2n^{2}-4n+2030$ 有最小值？并求出这个最小值.

答案：
(1)$x^{2}-46x + 520=(x^{2}-2×23x+23^{2})-23^{2}+520$
$=(x - 23)^{2}-3^{2}$
$=(x - 23 + 3)(x - 23 - 3)$
$=(x - 20)(x - 26)$.
(2)$m^{2}-2mn-2m + 2n^{2}-4n + 2030$
$=m^{2}+(-2mn-2m)+(n^{2}+2n + 1)+(n^{2}-6n + 9)+2020$
$=m^{2}-2m(n + 1)+(n + 1)^{2}+(n - 3)^{2}+2020$
$=[m-(n + 1)]^{2}+(n - 3)^{2}+2020$，
$\because[m-(n + 1)]^{2}\geqslant0$，$(n - 3)^{2}\geqslant0$，
$\therefore[m-(n + 1)]^{2}+(n - 3)^{2}+2020\geqslant2020$.
$\therefore$当$m-(n + 1)=0$，$n - 3 = 0$时，原式取得最小值，最小值为$2020$，
即当$m = 4$，$n = 3$时，多项式$m^{2}-2mn-2m + 2n^{2}-4n + 2030$有最小值，最小值为$2020$.