《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

23. （本小题满分10分）已知二次函数$y = ax^{2}+2ax - 3a$（常数$a\neq0$）.
（1）求该函数图象的对称轴.
（2）若$-2 ＜ x ＜ 5$.
①当$a ＞ 0$时，该函数的最小值为$-8$，求$a$的值.
②当$a$分别取$a_{1}$，$a_{2}$（$a_{1} ＞ a_{2}$）时，两个函数的最小值相等，求$a_{1}$，$a_{2}$的数量关系.

答案： 23. 二次函数的图象与性质
解:
(1)对称轴为直线x = -$\frac{2a}{2a}$ = - 1.
(2)①
∵a ＞ 0，
∴当x = - 1时，该函数的最小值为y = a - 2a - 3a = - 4a.
∵ - 2 ＜ - 1 ＜ 5，
∴ - 4a = - 8，解得a = 2.
②
∵抛物线对称轴在x = - 2与x = 5之间，且a分别取a₁，a₂(a₁ ＞ a₂)时，两个函数的最小值相等，当a₁ ＞ a₂ ＞ 0或a₂ ＜ a₁ ＜ 0时，则两条抛物线的顶点相同，即a₁ = a₂(不合题意)，
∴a₁ ＞ 0，a₂ ＜ 0.
∴两个函数的最小值分别为 - 4a₁，32a₂.
∴ - 4a₁ = 32a₂，即a₁ = - 8a₂.
说明:只要有对a₁，a₂分类的意识即可得1分；有结论a₁ ＞ 0，a₂ ＜ 0可直接得2分.

24. （本小题满分12分）如图，在正方形$ABCD$中，点$E$，$F$分别在边$BC$，$CD$上，$\angle AEF = 90^{\circ}$，在线段$AE$上取点$G$，使$EG = EB$，连接$FG$.
（1）若$AB = 4$，$BE = 2$，求$DF$的长以及四边形$GECF$的周长.
（2）设四边形$GECF$的周长为$m$，$AB$的长为$a$，求$m$与$a$的数量关系.
（3）$\angle EFG$可能等于$30^{\circ}$吗？若不能，请说明理由；若能，请求出$\tan\angle BAE$的值.

答案：
24. 相似三角形的判定与性质+勾股定理+正方形的性质
解:
(1)[第1步，根据相似三角形的判定与性质求CF，从而可得DF]
∵∠AEF = 90°，
∴∠AEB + ∠CEF = 90°.又
∵∠B = 90°，
∴∠AEB + ∠BAE = 90°.
∴∠CEF = ∠BAE.又
∵∠B = ∠C = 90°，
∴△ABE∽△ECF.
∴$\frac{AB}{EC}$ = $\frac{BE}{CF}$，即$\frac{4}{2}$ = $\frac{2}{CF}$.
∴CF = 1，
∴DF = 3.
(注:用其他方法也给分)
[第2步，根据勾股定理求EF，FG，从而可得四边形GECF的周长]
∵∠C = 90°，
∴EF = $\sqrt{1² + 2²}$ = $\sqrt{5}$.
∴FG = $\sqrt{(\sqrt{5})^{2} + 2²}$ = 3.
∴四边形GECF的周长为2 + 2 + 1 + 3 = 8.
(2)解法一(相似三角形法):设BE = x，CE = y，CF = z，则FG² = x² + y² + z² + xz.由
(1)得，△ABE∽△ECF，
∴xy = z(x + y) = xz + yz.
∴DF² = (x + y - z)² = x² + y² + z² + 2xy - 2xz - 2yz = x² + y² + z² = FG².
∴m = GE + EC + CF + FG = BE + EC + CF + DF = 2a.
解法二(勾股定理法):如图，连接AF(巧作辅助线:构造直角三角形，根据勾股定理建立等式).
　　　　　　　
∵∠AEF = 90°，
∴AF² = AE² + EF².
∴AD² + DF² = AB² + BE² + EF².
∴DF² = EG² + EF² = FG².
∴m = GE + EC + CF + FG = BE + EC + CF + DF = 2a.
(3)∠EFG可能等于30°.设AB = 1，BE = EG = x，则EC = 1 - x，CF = x(1 - x).若∠EFG = 30°，则DF = FG = 2x(方法:30°角所对的直角边等于斜边的一半).列方程，得2x + x(1 - x) = 1，解得x = $\frac{3 ± \sqrt{5}}{2}$.
∵BE ＜ 1，
∴tan∠BAE = x = $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
(解析人:杜伟)
重难题型专项练