《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

23. (本小题满分 10 分)已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$($b,c$为常数).
(1)若$b=4,c=3$,求此二次函数的顶点坐标.
(2)若此函数图象与$x$轴只有一个交点,且过点$(3,1)$,求函数表达式.
(3)若此函数图象的对称轴为$x=1$,且当$-1\leq x\leq t$时,函数取到最大值 1,求$c$的取值范围.

答案： 23. 二次函数的图象与性质+待定系数法求二次函数的表达式
解：
(1)解法一(配方法)：由题知$y = x^{2} + 4x + 3 = (x + 2)^{2} - 1$,
$\therefore$顶点坐标为$(-2, -1)$.
解法二(公式法)：$\because a = 1$,$b = 4$,$c = 3$,
$\therefore - \frac{b}{2a} = - \frac{4}{2} = -2$,$\frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × 1 × 3 - 4^{2}}{4} = -1$.
$\therefore$顶点坐标为$(-2, -1)$.
(2)由题意得$b^{2} = 4c$,$9 + 3b + c = 1$(提示：根据二次函数图象与$x$轴只有一个交点可得对应的一元二次方程根的判别式等于0)，
解得$\begin{cases} b = -4 \\ c = 4 \end{cases}$或$\begin{cases} b = -8 \\ c = 16 \end{cases}$
$\therefore y = x^{2} - 4x + 4$或$y = x^{2} - 8x + 16$.
(3)$\because$函数图象的对称轴为$x = 1$,
$\therefore y = x^{2} - 2x + c$.
当$t ＜ 3$时，函数在$x = -1$处取得最大值.
把$x = -1$代入得$3 + c = 1$,解得$c = -2$;
当$t \geq 3$时，函数在$x = t$处取得最大值.
把$x = t$代入得$t^{2} - 2t + c = 1$,
则$c = -t^{2} + 2t + 1 = -(t - 1)^{2} + 2$,
当$t \geq 3$时，$c \leq -2$.
综上所述，$c \leq -2$.

24. (本小题满分 12 分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ},D$是$AB$的中点,$E$是$BC$上的动点(不与端点$B,C$重合),连接$AE$与$CD$交于点$F$,过$E,F,D$三点的圆与$BD$交于点$G$(不与$B,D$重合),连接$EG$.
(1)若$CE=CF,\angle B=50^{\circ}$,求$\angle EGD$的度数.
(2)若$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{2}$,求$\frac{EF}{AF}$的值.
(3)求证:$EG+EF=AF$.

答案：
24. 圆内接四边形的性质+平行线分线段成比例定理+全等三角形的判定与性质
解：
(1)$\because$在$Rt \triangle ABC$中，$D$是斜边$AB$的中点，
$\therefore CD = BD$.
$\therefore \angle DCE = \angle B = 50^{\circ}$.
$\because CE = CF$,
$\therefore \angle CFE = \angle CEF = 65^{\circ}$.
$\because$四边形$EFDG$内接于圆，
$\therefore \angle EGD = \angle CFE = 65^{\circ}$(提示：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角).
(2)如图1,过点$E$作$EH // CD$交$BD$于点$H$(巧作辅助线：根据线段的比值可联想到平行线分线段成比例定理，故作$EH // CD$).

则$\frac{DH}{BH} = \frac{CE}{BE} = \frac{1}{2}$.
$\because AD = BD$,
$\therefore \frac{DH}{AD} = \frac{1}{3}$.
$\because EH // CD$,
$\therefore \frac{EF}{AF} = \frac{DH}{AD} = \frac{1}{3}$.
(3)证明：[第1步，作$BM // CD$，交$AE$的延长线于点$M$，在$BD$上作$BN = BM$，连接$EN$(巧作辅助线：作$BM // CD$，根据平行线分线段成比例定理得$AF = FM$]
如图2,过点$B$作$BM // CD$，交$AE$的延长线于点$M$，在$BD$上取点$N$，使$BN = BM$，连接$EN$(巧作辅助线：作$BM // CD$，根据角平分线模型在$BD$上作$BN = BM$).

由
(1)知，$\angle DCB = \angle CBD$,$\angle EGD = \angle CFE$.
$\because BM // CD$,$AD = DB$,
$\therefore AF = FM$,$\angle MBE = \angle DCB = \angle CBD$,$\angle M = \angle CFE = \angle EGD$.
[第2步，证明$\triangle EMB \cong \triangle ENB$，利用全等三角形的性质得$EN = EM$，等量代换得出结论]
又$\because BM = BN$,$BE = BE$,
$\therefore \triangle EMB \cong \triangle ENB(SAS)$.
$\therefore EN = EM$,$\angle ENG = \angle M = \angle EGN$.
$\therefore EN = EG$.
$\therefore EG + EF = EM + EF = FM = AF$.
模型分析
角平分线全等模型：
[类型1]角平分线+边的垂线构造全等三角形
[数学建模]过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，构造全等三角形
如图，$P$是$\angle MON$的平分线上一点，过点$P$作$PA \perp OM$于点$A$，$PB \perp ON$于点$B$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得$PB = PA$，则$Rt \triangle AOP \cong Rt \triangle BOP$.

[类型2]角平分线+角平分线的垂线构造等腰三角形
[数学建模]从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交构造等腰三角形，利用“三线合一”解题.
如图，$P$是$\angle MON$的平分线上一点，$A$是射线$OM$上一点，$AP \perp OP$，延长$AP$交$ON$于点$B$，则$Rt \triangle AOP \cong Rt \triangle BOP$，$\triangle AOB$是等腰三角形.

[类型3]角平分线+对称构造全等三角形
[数学建模]如图，$P$是$\angle MON$的平分线上一点，$A$是射线$OM$上任意一点，在$ON$上截取$OB = OA$，连接$PB$，则$\triangle OPB \cong \triangle OPA$.

(解析人：尹有祥)