《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

1. (2024·安徽)已知抛物线 $ y = -x^2 + bx $ ( $ b $ 为常数)的顶点横坐标比抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 的顶点横坐标大 1.
(1)求 $ b $ 的值.
(2)点 $ A(x_1, y_1) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + 2x $ 上，点 $ B(x_1 + t, y_1 + h) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + bx $ 上.
①若 $ h = 3t $，且 $ x_1 \geq 0 $，$ t ＞ 0 $，求 $ h $ 的值.
②若 $ x_1 = t - 1 $，求 $ h $ 的最大值.

答案： 解:
(1)因为抛物线$y=-x^{2}+bx$的顶点横坐标为$\frac{b}{2}$，$y=-x^{2}+2x$的顶点横坐标为1，
由条件得$\frac{b}{2}-1=1$，
解得$b = 4$.
(2)因为点$A(x_{1},y_{1})$在抛物线$y=-x^{2}+2x$上，
所以$y_{1}=-x_{1}^{2}+2x_{1}$.
又因为点$B(x_{1}+t,y_{1}+h)$在抛物线$y=-x^{2}+4x$上，
则$y_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t)$.
于是$-x_{1}^{2}+2x_{1}+h=-(x_{1}+t)^{2}+4(x_{1}+t)$，
整理得$h=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t$.
①因为$h = 3t$，
所以$3t=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t$，
整理得$t(t + 2x_{1})=t + 2x_{1}$.
又因为$x_{1}\geqslant0$，$t＞0$，
所以$t + 2x_{1}＞0$.故$t = 1$，从而$h = 3$.
②将$x_{1}=t - 1$代入$h=-t^{2}-2x_{1}t+2x_{1}+4t$，
整理得$h=-3t^{2}+8t - 2$，
配方得$h=-3(t-\frac{4}{3})^{2}+\frac{10}{3}$.
因为$-3＜0$，所以当$t=\frac{4}{3}$，
即$x_{1}=\frac{1}{3}$时，$h$取最大值$\frac{10}{3}$.

2. 已知抛物线 $ y = mx^2 + (1 + 2m)x + 1 - 3m $，其中 $ m \neq 0 $.
(1)求证：该抛物线与 $ x $ 轴有两个不同的交点.
(2)设该抛物线与 $ x $ 轴的交点分别为 $ A(a, 0) $，$ B(b, 0) $，且 $ (2a + b)(a + 2b) = 5 $，求 $ m $ 的值.
(3)试判断：无论 $ m $ 取任何实数，该抛物线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

答案： 解:
(1)证明:令$y = 0$，则$mx^{2}+(1 + 2m)x + 1 - 3m = 0$，
则$\Delta=(1 + 2m)^{2}-4m(1 - 3m)=16m^{2}+1＞0$，
∴该抛物线与$x$轴有两个不同的交点.
(2)
∵该抛物线与$x$轴的交点分别为$A(a,0)$，$B(b,0)$，
$y=mx^{2}+(1 + 2m)x + 1 - 3m$，
∴$a$，$b$是方程$mx^{2}+(1 + 2m)x + 1 - 3m$的两根.
∴$a + b=-\frac{1 + 2m}{m}$，$ab=\frac{1 - 3m}{m}$(提示:利用根与系数的关系得到$a + b$，$ab$).
∵$(2a + b)(a + 2b)=5$，
∴$2a^{2}+4ab + 2b^{2}+ab = 5$.
∴$2(a + b)^{2}+ab = 5$.
∴$2(-\frac{1 + 2m}{m})^{2}+\frac{1 - 3m}{m}=5$，
解得$m=-\frac{2}{9}$.
经检验，$m=-\frac{2}{9}$是该分式方程的解，
∴$m$的值为$-\frac{2}{9}$.
(3)抛物线经过定点，定点坐标为$(1,2)$和$(-3,-2)$.
理由如下:
$y=mx^{2}+(1 + 2m)x + 1 - 3m=m(x + 3)(x - 1)+x + 1$.
∴当$x=-3$或$1$时，$m(x + 3)(x - 1)=0$，
此时$y=-2$或$2$.
故抛物线过定点$(1,2)$和$(-3,-2)$，
即无论$m$取任何实数，该抛物线必经过定点$(1,2)$和$(-3,-2)$.