《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

8. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形 $ABCD$ 与四边形 $EFGH$ 都是正方形.若$\tan\angle GBC = \dfrac{1}{2}$，则$\dfrac{S_{正方形EFGH}}{S_{正方形ABCD}} =$（D）

A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{1}{5}$

答案： 8. D 【解析】锐角三角函数 + 勾股定理 + 正方形的面积公式 在 Rt△BCG 中，tan∠GBC = $\frac{CG}{BG}$ = $\frac{1}{2}$. 设 CG = a，BG = 2a，由勾股定理可得 BC = $\sqrt{5}a$，
∴ S正方形ABCD = ($\sqrt{5}a$)² = 5a². 又 CH = BG = 2a，
∴ HG = CH - CG = 2a - a = a.
∴ S正方形EFGH = a².
∴ $\frac{S_{正方形EFGH}}{S_{正方形ABCD}}$ = $\frac{a²}{5a²}$ = $\frac{1}{5}$. 故选 D.

9. 若点 $A(n - 4,y_{1})$，$B(n - 1,y_{2})$，$C(n + 4,y_{3})$（其中 $1 ＜ n ＜ 4$）都在反比例函数 $y = \dfrac{1}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$ 的大小关系是（B）
A.$y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2}$
B.$y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$
C.$y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$
D.$y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1}$

答案： 9. B 【解析】反比例函数的图象与性质
∵ 1 ＜ n ＜ 4，
∴ n - 4 ＜ 0，n - 1 ＞ 0，n + 4 ＞ 0，n - 1 ＜ n + 4. 又
∵ 反比例函数 y = $\frac{1}{x}$ 的图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，
∴ y₁ ＜ 0，y₂ ＞ y₃ ＞ 0.
∴ y₁ ＜ y₃ ＜ y₂. 故选 B.
方法技巧
比较反比例函数 y = $\frac{k}{x}$(k ≠ 0) 中函数值的大小的注意事项
(1) 判断点所在的象限: 根据函数图象所在的象限，结合自变量 x 的值，判断点所在的象限，从而判断 y 的符号.
(2) 比较自变量值的大小: 在同一象限内，比较自变量值的大小，含参数的，需结合参数的取值范围来确定.
(3) 利用函数的增减性: 根据函数的增减性，结合自变量的大小，比较出函数值的大小.
(4) 图象法: 作出函数的大致图象，在图象上表示出相应的点，从而比较函数值的大小.

10. 如图，在$\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 10$，$CD \perp AB$ 于点 $D$，过点 $D$ 作 $DE \perp BC$ 于点 $E$，连接 $AE$. 记 $AE$ 的长为 $x$，$DE$ 的长为 $y$，当 $x$，$y$ 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）


A.$xy$
B.$x + y$
C.$x - y$
D.$x^{2} + y^{2}$

答案：
10. D 【解析】相似三角形的判定与性质 + 勾股定理 + 等腰三角形的性质
[第 1 步，作 AM⊥BC，根据 CD⊥AB，DE⊥BC 可证明△CDE∽△DBE，得 DE² = CE·BE]
如图，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M（巧作辅助线: 构造直角三角形，利用勾股定理解决问题）.
∵ CD⊥AB，DE⊥BC，
∴ ∠BDC = ∠CED = ∠BED = 90°.
∴ ∠CDE + ∠BDE = ∠BDE + ∠B = 90°，即 ∠CDE = ∠B.
∴ △CDE∽△DBE.
∴ $\frac{CE}{DE}$ = $\frac{DE}{BE}$，即 DE² = CE·BE.
[第 2 步，设 CE = 2b，BE = 2a，表示出 y²和 EM]
设 CE = 2b，BE = 2a，则 BC = CE + BE = 2a + 2b.
∵ DE = y，
∴ y² = 2b·2a = 4ab.
∵ AB = AC = 10，
∴ CM = BM = $\frac{1}{2}$BC = a + b（提示: 运用等腰三角形的“三线合一”性质）.
∴ EM = CE - CM = 2b - (a + b) = b - a.
[第 3 步，在 Rt△ACM 和 Rt△AEM 中，利用勾股定理表示出 AM²，即可列出等式，化简并代换后可得关于 x，y 的等式，即可判断正确的结论]
在 Rt△ACM 中，由勾股定理可得 AM² = AC² - CM² = 10² - (a + b)² = 100 - a² - 2ab - b²，在 Rt△AEM 中，由勾股定理可得 AM² = AE² - EM² = x² - (b - a)² = x² - b² + 2ab - a²，
∴ 100 - a² - 2ab - b² = x² - b² + 2ab - a²，整理得 x² + 4ab = 100. 又 y² = 4ab，
∴ x² + y² = 100 为定值，即值不变的代数式是 x² + y². 故选 D.
　　　　　　　　　

11. 分解因式：$x^{2} - 1 =$(x + 1)(x - 1).

答案： 11 (x + 1)(x - 1)

12. 若分式 $\dfrac{4}{x + 2}$ 的值为 1，则字母 $x$ 的取值为2.

答案： 12 2

13. 如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点 $A$，$B$，$C$，其中 $A$，$B$ 两点分别与钟面 12，3 两个时刻的刻度点重合，连接 $AC$，$BC$，则$\angle ACB =$45$^{\circ}$.

答案： 13 45

14. 王老师从小丽、小慧、小聪和小颖四人中任选两人利用午休时间去学校各班进行礼仪巡查，则选中的两人中恰好有小丽参加的概率是$\frac{1}{2}$.

答案： 14 $\frac{1}{2}$

15. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 是边 $DC$ 的三等分点，连接 $BE$，$AF$，$AF$ 交 $BE$ 于点 $G$，交 $BC$ 延长线于点 $H$. 若 $S_{\triangle EFG} = 5$，则 $S_{\triangle FCH} =$10.

答案： 15 10

16. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，已知$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$，点 $E$ 是对角线 $AC$ 上一动点，边 $AB$ 绕点 $E$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $MN$，连接 $BN$，$CM$. 当点 $M$ 落在边 $BC$ 上时，$\dfrac{BN}{CM}$ 的值为____________.

$\frac{15}{17}$

答案： 16 $\frac{15}{17}$