《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

18. （本小题满分 8 分）小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：$\dfrac{4}{a^{2}-4}-\dfrac{1}{a - 2}$.”
小明的解法
解：$\dfrac{4}{a^{2}-4}-\dfrac{1}{a - 2}$
$=\dfrac{4}{a^{2}-4}·(a^{2}-4)-\dfrac{1}{a - 2}·(a^{2}-4)$ ①
$=4-(a + 2)$ ②
$=4 - a - 2$ ③
$=2 - a$ ④
小红的解法
解：$\dfrac{4}{a^{2}-4}-\dfrac{1}{a - 2}$
$=\dfrac{4}{(a + 2)(a - 2)}-\dfrac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)}$ ①
$=\dfrac{4 - a + 2}{(a + 2)(a - 2)}$ ②
$=\dfrac{6 - a}{(a + 2)(a - 2)}$ ③
$=\dfrac{6 - a}{a^{2}-4}$ ④
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步.
（2）请你写出正确的计算过程，并求出当$a = 1$时原式的值.

答案： 18 分式的化简与求值
解：
(1)小明的解法：步骤①错误；
小红的解法：步骤②错误.
(2)原式$= \frac{4}{(a + 2)(a - 2)} - \frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)}$
$= \frac{4 - a - 2}{(a + 2)(a - 2)}$
$= \frac{2 - a}{(a + 2)(a - 2)}$
$= -\frac{1}{a + 2}$.
当$a = 1$时，原式$= -\frac{1}{1 + 2} = -\frac{1}{3}$.

19. （本小题满分 8 分）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$\cos B = \dfrac{4}{5}$，$DE$垂直平分$AB$，分别交$AB$，$BC$于点$D$，$E$，连接$AE$.
（1）求$AC$的长.
（2）求$\tan\angle CAE$的值.

答案： 19 解直角三角形
解：
(1)$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$\cos B = \frac{4}{5}$，
$\therefore BC = AB · \cos B = 8$.
在$Rt \triangle ABC$中，$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$.
(2)$\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore AE = BE$.
设$CE = x$，则$AE = BE = 8 - x$.
在$Rt \triangle ACE$中，$AE^2 = AC^2 + CE^2$，
$\therefore (8 - x)^2 = 6^2 + x^2$，解得$x = \frac{7}{4}$.
$\therefore \tan \angle CAE = \frac{CE}{AC} = \frac{\frac{7}{4}}{6} = \frac{7}{24}$.