《2026年天利38套中考试题精选数学浙江专版》

3. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + c $ ($ a ＞ 0 $).
(1)当 $ a = c $ 时，
①求抛物线的顶点坐标.
②将抛物线向下平移 $ m $ ($ m ＞ 0 $)个单位长度，若平移后的抛物线过点 $ (0, -8) $，且与 $ x $ 轴两交点之间的距离为 6，求 $ m $ 的值.
(2)已知点 $ M(2, 2n + 1) $，$ N(-1, 3n + 2) $ 在抛物线上，且 $ c ＜ 2 $，求 $ n $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)①
∵$a = c$，
∴$y=ax^{2}-2ax + a=a(x - 1)^{2}$.
∴抛物线的顶点坐标为$(1,0)$.
②将抛物线向下平移$m(m＞0)$个单位长度，所得抛物线为$y=ax^{2}-2ax + a - m$，
将点$(0,-8)$的坐标代入，得$a - m=-8$，
∴$m = a + 8$.
∴$y=ax^{2}-2ax + a - a - 8=ax^{2}-2ax - 8$.
设平移后抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$，
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2a}{a}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{-8}{a}$.
∵平移后抛物线与$x$轴两交点之间的距离为6，
∴$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{4+\frac{32}{a}}=6$，
解得$a = 1$.
经检验，$a = 1$是原方程的解且符合题意，
∴$m = 1 + 8 = 9$.
(2)由题意得，抛物线的对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，
点$M(2,2n + 1)$关于对称轴的对称点为$(0,2n + 1)$.
将点$(0,2n + 1)$，$(-1,3n + 2)$的坐标代入$y=ax^{2}-2ax + c$，
得$\begin{cases}c = 2n + 1\\a + 2a + c = 3n + 2\end{cases}$
∴$\begin{cases}a=\frac{n + 1}{3}\\c = 2n + 1\end{cases}$
∵$a＞0$，$c＜2$，
∴$\begin{cases}\frac{n + 1}{3}＞0\\2n + 1＜2\end{cases}$
解得$-1＜n＜\frac{1}{2}$.
∴$n$的取值范围为$-1＜n＜\frac{1}{2}$.

4. (2024·山东四市)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ P(2, -3) $ 在二次函数 $ y = ax^2 + bx - 3 $ ($ a ＞ 0 $)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线 $ x = m $.
(1)求 $ m $ 的值.
(2)若点 $ Q(m, -4) $ 在 $ y = ax^2 + bx - 3 $ 的图象上. 将该二次函数的图象向上平移 5 个单位长度，得到新的二次函数的图象. 当 $ 0 \leq x \leq 4 $ 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和.
(3)设 $ y = ax^2 + bx - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交点为 $ (x_1, 0) $，$ (x_2, 0) $ ($ x_1 ＜ x_2 $). 若 $ 4 ＜ x_2 - x_1 ＜ 6 $，求 $ a $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)因为点$P(2,-3)$在二次函数$y=ax^{2}+bx - 3$的图象上，
所以$-3 = 4a + 2b - 3$.
所以$b=-2a$.
所以$y=ax^{2}+bx - 3$可化为$y=ax^{2}-2ax - 3$.
所以对称轴为直线$x = 1$.
所以$m = 1$.
(2)因为点$Q(1,-4)$在$y=ax^{2}-2ax - 3$的图象上，
所以$-4 = a-2a - 3$.
所以$a = 1$.
所以$y=x^{2}-2x - 3$.
将$y=x^{2}-2x - 3$的图象向上平移5个单位长度得到$y=x^{2}-2x + 2$的图象.
因为$y=x^{2}-2x + 2$的图象开口方向向上，对称轴为直线$x = 1$，
所以当$0\leqslant x\leqslant1$时，$y$随$x$的增大而减小；
当$1＜x\leqslant4$时，$y$随$x$的增大而增大.
所以当$x = 1$时，$y$取得最小值1；当$x = 4$时，$y$取得最大值10.所以最大值与最小值的和为11.
(3)因为$a＞0$，
所以$y=ax^{2}-2ax - 3$的图象开口方向向上.
因为对称轴为直线$x = 1$，
所以$1 - x_{1}=x_{2}-1$.
所以$x_{2}=2 - x_{1}$.
因为$4＜x_{2}-x_{1}＜6$，
所以$-2＜x_{1}＜-1$.
所以$x=-2$时，$y＞0$，且$x=-1$时，$y＜0$.
即$4a + 4a - 3＞0$且$a + 2a - 3＜0$.
所以$\frac{3}{8}＜a＜1$.